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II.3.40. Par hypothèse, f est intégrable sur A et
A\A δ
f dm δαm(A).
Donc,
A δ
f dm (1 − δ)αm(A). D’autre part, d’après l’inégalité de CauchySchwarz,
A δ
f dm
A δ
f
2 dm
1/2
(m(A δ ))
1/2
(βm(A))
1/2 (m(A δ ))
1/2 .
Il s’ensuit que
(1 − δ)αm(A) (βm(A))
1/2 (m(A δ ))
1/2 ,
ce qui implique le résultat désiré.
II.4. Continuité absolue, dérivation et intégration
II.4.1. Puisque f est absolument continue sur [a , b], il existe δ > 0 tel que
n
k=1
f (x k ) − f (x
k )
< 1
pour toute collection finie {]x k , x
k [} d’intervalles ouverts deux à deux disjoints
de [a , b] vérifiant
n
k=1
(x
k − x k ) < δ.
Soit a = c 0 < c 1 < · · · < c m = b une partition de pas inférieur à δ. La variation totale V (f ; c k−1 , c k ) de f sur chaque [c k−1 , c k ] est inférieure à 1. Donc,
V (f ; a, b) < m.
II.4.2. Vu le problème précédent, il suffit de considérer la fonction définie
en I.2.5 avec α = β = 1.
II.4.3. Si α > β > 0, alors
f (x) =
x
0
αt
α−1 sin
1
t β − βt
α−β−1 cos
1
t β
dt
et l’intégrande est intégrable sur [0 , 1]. D’après le théorème 2, f est absolument continue. Si 0 < α β, un raisonnement semblable à celui utilisé en I.2.5
montre alors que f n’est pas à variation bornée et, d’après II.4.1, n’est pas
absolument continue.
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