Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
Si f est positive, il existe alors une suite croissante {f n } de fonctions
simples convergente vers f . Ce que l’on a déjà prouvé et le théorème de
convergence monotone de Lebesgue (théorème 1) impliquent
R
f dm = lim
n→+∞
R
f n dm = lim
n→+∞
R
(f n ) t dm =
R
f t dm.
Finalement, le résultat se déduit du fait que
R
f dm =
R
f
+ dm −
R
f
− dm.
(b) D’après II.3.30, étant donné ε > 0, il existe une fonction continue ϕ
s’annulant en dehors d’un intervalle borné, notons-le [a , b], telle que
R |f − ϕ| dm < ε. Si |g(x)| M , on obtient, en utilisant (a),
R
|g(f − f t )| dm
R
|g(f − ϕ)| dm +
R
|g(f t − ϕ t )| dm
+
R
|g(ϕ − ϕ t )| dm
Mε +
R
|g(f t − ϕ t )| dm + M
R
|ϕ − ϕ t | dm
= Mε +
R
|g −t (f − ϕ)| dm + M
R
|ϕ − ϕ t | dm
2Mε + M
R
|ϕ − ϕ t | dm.
La fonction ϕ étant continue et s’annulant en dehors de [a , b], elle est uniformément continue. Il existe donc 0 < δ < 1 tel que |ϕ(x) − ϕ t (x)| < ε
si |t| < δ. Il s’ensuit que, étant donné ε > 0, il existe 0 < δ < 1 tel que
si |t| < δ, alors
R
|g(f − f t )| dm 2Mε + Mε(b − a + 1).
II.3.39. D’après II.3.30, étant donné ε > 0, il existe une fonction continue g s’annulant en dehors d’un intervalle borné, notons-le [a , b], telle que
f − g p < ε. Puisque g est uniformément continue, il existe 0 < δ < 1 tel que
|g(x) − g t (x)| < ε si |t| < δ. En utilisant II.3.38(a), on voit donc que, étant
donné ε > 0, il existe 0 < δ < 1 tel que si |t| < δ, alors
f − f t p f − g p + g − g t p + g t − f t p
< ε + ε (b − a + 1)
1/p + ε.
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