Solutions
II.3.36. On pose r = αp 1 + (1 − α)p 2 , 0 < α < 1. Si p =
1
α et
1
p +
1
p = 1,
alors p =
1
1−α et, par l’inégalité de Hölder (voir I.6.27),
A
|f |
r dm =
A
|f |
αp 1 |f |
(1−α)p 2 dm
A
|f |
p 1 dm
α
A
|f |
p 2 dm
1−α
< +∞.
Donc,
f
r
r
f
p 1
p 1
α
f
p 2
p 2
1−α
.
En prenant le logarithme de chaque membre de cette inégalité, on obtient
ϕ(r) αϕ(p 1 ) + (1 − α)ϕ(p 2 ).
II.3.37. D’après II.3.35, si f ∈ L 1 [a , b], alors f ∈ L p [a , b] pour 0 < p 1.
En utilisant l’inégalité ln t < t − 1 pour t > 0 et l’inégalité de Jensen
(voir II.3.34) avec ϕ(x) = − ln x, on obtient
1
p
·
1
b − a
[a,b]
(|f |
p
− 1) dm
1
p
ln
1
b − a
[a,b]
|f |
p dm
1
b − a
[a,b]
ln |f | dm.
Puisque
|f (x)|
p −1
p
décroît vers ln |f (x)| lorsque p décroît vers 0, d’après le théorème de convergence monotone de Lebesgue (théorème 1), on a
lim
p→0 +
1
p
·
1
b − a
[a,b]
(|f |
p
− 1) dm =
1
b − a
[a,b]
ln |f | dm.
Il s’ensuit que
lim
p→0 +
1
p
ln
1
b − a
[a,b]
|f |
p dm
=
1
b − a
[a,b]
ln |f | dm.
II.3.38.
(a) Si f est la fonction caractéristique d’un ensemble mesurable A, l’égalité à prouver découle alors de l’invariance par translation de l’intégrale
de Lebesgue. L’égalité est donc aussi vérifiée pour les fonctions simples.
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