Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
d’où
[a,b]
|f |
p dm (f ∞ − ε)
p δ,
ce qui implique
lim
p→+∞
[a,b]
|f |
p dm
1/p
f ∞ − ε.
On obtient le résultat cherché en faisant tendre ε vers 0.
II.3.34. On prouve d’abord que si ϕ est convexe sur R, alors le graphe de
ϕ admet au moins une droite support en tout x 0 ∈ R, c’est-à-dire une droite
passant par le point (x 0 , ϕ(x 0 )) et se trouvant sous le graphe de ϕ. Pour ce
faire, on remarque que si ϕ est convexe, elle admet alors des dérivées à gauche
et à droite ϕ
+ et ϕ
− et, pour x < x 0 < x 1 ,
ϕ(x) − ϕ(x 0 )
x − x 0
ϕ
− (x 0 ) ϕ
+ (x 0 )
ϕ(x 1 ) − ϕ(x 0 )
x 1 − x 0
(voir, par exemple, II.4.19 (vol. II)). Il s’ensuit que y = A(x − x 0 ) + ϕ(x 0 )
est une droite support en x 0 si et seulement si ϕ
− (x 0 ) A ϕ
+ (x 0 ). Notre
proposition est donc prouvée. On prend alors
x 0 =
1
b − a
[a,b]
f dm
et y = A(x − x 0 ) + ϕ(x 0 ) une droite support en x 0 . On a
ϕ(f (x)) A(f (x) − x 0 ) + ϕ(x 0 ).
Une intégration de chacun des membres de cette inégalité par rapport à x
donne le résultat cherché.
II.3.35. On pose p =
p 2
p 1
et
1
p +
1
p = 1. On a alors, avec l’inégalité de Hölder
(voir I.6.27),
A
|f |
p 1 dm
A
|f |
pp 1 dm
1/p
A
1
p dm
1/p
=
A
|f |
p 2 dm
1/p
(m(A))
1/p < +∞.
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