Solutions
et, d’après II.3.20,
lim
n→+∞
[a,b]
f n dm =
[a,b]
f dm.
On prouve tout aussi facilement que cette égalité est vérifiée lorsqu’on remplace [a , b] par tout sous-intervalle [a i , b i ] de [a , b]. Donc, si S est une fonction
en escalier sur [a , b], alors
lim
n→+∞
[a,b]
f n S dm =
[a,b]
f S dm.
Il découle de l’équi-intégrabilité de |f n |
p que
lim
n→+∞
[a,b]
|f n |
p dm =
[a,b]
|f |
p dm.
Donc, d’après II.3.16, f n − f p tend vers 0. Si g ∈ L q [a , b], on a alors, avec
l’inégalité de Hölder,
[a,b]
|f n g − f g| dm f n − f p g q
et le résultat suit.
II.3.32. Puisque |g n | C, on remarque d’abord que l’on a |g n f |
p
C p |f |
p
et, d’après le théorème de convergence dominée de Lebesgue (théorème 3),
[a,b] |g n f |
p dm tend vers
[a,b] |gf |
p dm. Donc, d’après le résultat de II.3.16, la
suite {g n f } converge vers gf en norme dans L p [a , b]. De plus,
[a,b]
|f n g n − f g|
p dm 2
p
[a,b]
|g n |
p
|f n − f |
p dm +
[a,b]
|f g n − f g|
p dm
2
p
C
p
f n − f
p
p + f g n − f g
p
p
et le résultat cherché suit.
II.3.33. On renvoie le lecteur à la remarque ouvrant cette section pour la définition de f ∞ . Si f ∞ = 0, le résultat est évident. Supposons que f ∞ > 0.
Puisque |f (x)| f ∞ p.p., on voit que
lim
p→+∞
[a,b]
|f |
p dm
1/p
lim
p→+∞
(b − a)
1/p
f ∞ = f ∞ .
D’autre part, étant donné 0 < ε < f ∞ , on a
m ({x : |f (x)| > f ∞ − ε}) = δ > 0,
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