Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.3.30. On trouve d’abord un intervalle fermé [a , b] et une fonction h bornée
et mesurable sur A s’annulant à l’extérieur de [a , b] et vérifiant
A
|f − h|
p dm <
ε
3
.
(∗)
Pour cela, on considère la suite de fonctions définies par
f n (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
f (x) si x ∈ [−n , n] ∩ A et |f (x)| n,
n
si x ∈ [−n , n] ∩ A et f (x) > n,
−n
si x ∈ [−n , n] ∩ A et f (x) < −n,
0
si x /
∈ [−n , n].
La suite f n tend vers f p.p. sur A et |f n |
p
|f |
p . D’après le
théorème de convergence dominée de Lebesgue (voir théorème 3),
lim
n→+∞
A |f n |
p dm =
A |f |
p dm. En utilisant le résultat de II.3.16, on voit
que lim
n→+∞
A |f n − f |
p dm = 0. On peut donc choisir N suffisamment grand
et poser h = f N et [a , b] = [−N , N]. Ceci prouve la proposition énoncée au
début. D’après le théorème de Lusin (voir II.2.27), il existe alors un ensemble
fermé F ⊂ A ∩ [−N , N] tel que h soit continue sur F et
m(A ∩ [−N , N] \ F) <
ε
3 (2N )
p .
Puis, d’après le théorème de prolongement de Tietze, il existe une fonction continue g telle que |g| N et g = h sur F ∪
−∞ , −N −
ε
6N p
∪
N +
ε
6N p , +∞
. Mais alors,
A
|h − g|
p dm
A∩[−N,N ]\F
|h − g|
p dm +
[−N −
ε
6N p ,−N ]
|h − g|
p dm
+
[N,N +
ε
6N p ]
|h − g|
p dm
ε
3 (2N )
p (2N )
p + 2
ε
6N p N
p =
2ε
3
.
Ceci, combiné avec (∗), montre que la fonction g résout notre problème.
II.3.31. On remarque, avec le lemme de Fatou (théorème 2), que
[a,b]
|f |
p dm lim
n→+∞
[a,b]
|f n |
p dm C
p
et |f |
p est donc intégrable sur [a , b]. On prouve maintenant que f n est équiintégrable sur [a , b]. En effet, étant donné ε > 0, il existe δ =
ε q
C q tel que si
m(B) < δ, d’après l’inégalité de Hölder (voir I.6.27),
B
|f n | dm f n p (m(B))
1
q Cδ
1
q = ε
292
II.3.30. On trouve d’abord un intervalle fermé [a , b] et une fonction h bornée
et mesurable sur A s’annulant à l’extérieur de [a , b] et vérifiant
A
|f − h|
p dm <
ε
3
.
(∗)
Pour cela, on considère la suite de fonctions définies par
f n (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
f (x) si x ∈ [−n , n] ∩ A et |f (x)| n,
n
si x ∈ [−n , n] ∩ A et f (x) > n,
−n
si x ∈ [−n , n] ∩ A et f (x) < −n,
0
si x /
∈ [−n , n].
La suite f n tend vers f p.p. sur A et |f n |
p
|f |
p . D’après le
théorème de convergence dominée de Lebesgue (voir théorème 3),
lim
n→+∞
A |f n |
p dm =
A |f |
p dm. En utilisant le résultat de II.3.16, on voit
que lim
n→+∞
A |f n − f |
p dm = 0. On peut donc choisir N suffisamment grand
et poser h = f N et [a , b] = [−N , N]. Ceci prouve la proposition énoncée au
début. D’après le théorème de Lusin (voir II.2.27), il existe alors un ensemble
fermé F ⊂ A ∩ [−N , N] tel que h soit continue sur F et
m(A ∩ [−N , N] \ F) <
ε
3 (2N )
p .
Puis, d’après le théorème de prolongement de Tietze, il existe une fonction continue g telle que |g| N et g = h sur F ∪
−∞ , −N −
ε
6N p
∪
N +
ε
6N p , +∞
. Mais alors,
A
|h − g|
p dm
A∩[−N,N ]\F
|h − g|
p dm +
[−N −
ε
6N p ,−N ]
|h − g|
p dm
+
[N,N +
ε
6N p ]
|h − g|
p dm
ε
3 (2N )
p (2N )
p + 2
ε
6N p N
p =
2ε
3
.
Ceci, combiné avec (∗), montre que la fonction g résout notre problème.
II.3.31. On remarque, avec le lemme de Fatou (théorème 2), que
[a,b]
|f |
p dm lim
n→+∞
[a,b]
|f n |
p dm C
p
et |f |
p est donc intégrable sur [a , b]. On prouve maintenant que f n est équiintégrable sur [a , b]. En effet, étant donné ε > 0, il existe δ =
ε q
C q tel que si
m(B) < δ, d’après l’inégalité de Hölder (voir I.6.27),
B
|f n | dm f n p (m(B))
1
q Cδ
1
q = ε
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