Solutions
pour tout intervalle ]α , β[ ⊂ [a , b]. On va prouver que f = χ A a la propriété
voulue. En effet, si ψ est une fonction en escalier égale à c sur ]α , β[ ⊂ [a , b],
alors
χ A − ψ ∞ max {|c| , |1 − c|}
1
2
.
On note ici que cet exemple montre que le résultat énoncé en II.3.25(ii) est
faux lorsque p = +∞.
II.3.27. Il ressort du résultat de II.3.25 que, étant donné ε > 0, il existe
une fonction en escalier ψ telle que f − ψ ∞ <
ε
2 . Il suffit donc de prouver qu’il existe une fonction continue g telle que ψ − g p <
ε
2 . On pose
M = sup {|ψ(x)| : x ∈ [a , b]} et on construit une fonction g affine par morceaux
sur [a , b] telle que m ({x ∈ [a , b] : ψ(x) = g(x)}) <
ε
4M
p et |g(x)| M . On
a alors
ψ − g p =
[a,b]
|ψ − g|
p dm
1/p
((2M )
p m ({x ∈ [a , b] : ψ(x) = g(x)}))
1/p <
ε
2
.
II.3.28. Pour a < c < b, on pose A = [a , c] et f = χ A . Si g est une fonction
continue sur [a , b], alors lim
x→c −
g(x) = lim
x→c +
g(x) = g(c). Donc,
f − g ∞ max {|g(c)| , |g(c) − 1|}
1
2
.
II.3.29. On remarque d’abord que, d’après II.2.16, les fonctions g(f n ), g(f )
et g(G) sont mesurables sur A. Comme dans la solution de II.3.23, on peut
montrer que g(f n ) tend vers g(f ) en mesure sur [a , b]. On prouve maintenant
que g(G) est intégrable sur [a , b]. D’après II.3.27, étant donné ε > 0, il existe
une fonction continue h telle que
[a ,b] |G − h| dm < ε. Donc,
[a,b]
|g(G)| dm
[a,b]
|g(G) − g(h)| dm +
[a,b]
|g(h)| dm
Lε +
[a,b]
|g(h)| dm,
où L est la constante de Lipschitz de g. Puisque g(h) est continue, g(G) est
intégrable sur [a , b]. Le résultat découle alors de II.3.21.
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