Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.3.24. On peut appliquer un raisonnement semblable à celui utilisé dans la
solution du problème précédent.
II.3.25.
(i) On sait qu’il existe des suites croissantes de fonctions positives simples
{ϕ 1,n } et {ϕ 2,n } définies sur [a , b] telles que ϕ 1,n tend vers f + et ϕ 2,n
tend vers f − . On voit, en posant ϕ n = ϕ 1,n − ϕ 2,n , que {ϕ n } est une
suite de fonctions simples convergente vers f telle que |ϕ n | |f |. Puisque
|ϕ n − f |
p tend vers 0 et |ϕ n − f |
p
2 p+1 |f |
p , le théorème de convergence
dominée de Lebesgue (théorème 3) implique
lim
n→+∞
[a,b]
|ϕ n − f |
p dm = 0.
(ii) Il ressort de (i) qu’il suffit de montrer que si χ A est la fonction caractéristique d’un ensemble mesurable A ⊂ [a , b], étant donné δ > 0, il
existe alors une fonction en escalier ψ telle que
[a ,b] |χ A − ψ|
p dm < δ.
D’après II.1.12, il existe un ensemble ouvert G tel que G ⊂ A et
m(A \ G) < δ. Mais G est la réunion dénombrable d’intervalles ouverts
disjoints ]a i , b i [. On a donc
m(G) =
+∞
i=1
(b i − a i ) < m(A) + δ.
Soit ψ la fonction caractéristique de [a , b] ∩
N
i=1
]a i , b i [ où N est suffisamment grand. Si h est la fonction caractéristique de [a , b] ∩
+∞
i=1
]a i , b i [,
d’après l’inégalité de Minkowski (voir I.6.35),
χ A − ψ p χ A − h p + h − ψ p
m
+∞
i=1
]a i , b i [ \ A
1/p
+
m
+∞
i=N +1
]a i , b i [
1/p
< δ
1/p + δ
1/p = 2δ
1/p .
Puisque l’on peut choisir δ > 0 arbitrairement petit, la démonstration
est complète.
II.3.26. D’après II.1.38, il existe un sous-ensemble mesurable A de [a , b] tel
que
m (A ∩ ]α , β[) > 0 et m (([a , b] \ A) ∩ ]α , β[) > 0
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II.3.24. On peut appliquer un raisonnement semblable à celui utilisé dans la
solution du problème précédent.
II.3.25.
(i) On sait qu’il existe des suites croissantes de fonctions positives simples
{ϕ 1,n } et {ϕ 2,n } définies sur [a , b] telles que ϕ 1,n tend vers f + et ϕ 2,n
tend vers f − . On voit, en posant ϕ n = ϕ 1,n − ϕ 2,n , que {ϕ n } est une
suite de fonctions simples convergente vers f telle que |ϕ n | |f |. Puisque
|ϕ n − f |
p tend vers 0 et |ϕ n − f |
p
2 p+1 |f |
p , le théorème de convergence
dominée de Lebesgue (théorème 3) implique
lim
n→+∞
[a,b]
|ϕ n − f |
p dm = 0.
(ii) Il ressort de (i) qu’il suffit de montrer que si χ A est la fonction caractéristique d’un ensemble mesurable A ⊂ [a , b], étant donné δ > 0, il
existe alors une fonction en escalier ψ telle que
[a ,b] |χ A − ψ|
p dm < δ.
D’après II.1.12, il existe un ensemble ouvert G tel que G ⊂ A et
m(A \ G) < δ. Mais G est la réunion dénombrable d’intervalles ouverts
disjoints ]a i , b i [. On a donc
m(G) =
+∞
i=1
(b i − a i ) < m(A) + δ.
Soit ψ la fonction caractéristique de [a , b] ∩
N
i=1
]a i , b i [ où N est suffisamment grand. Si h est la fonction caractéristique de [a , b] ∩
+∞
i=1
]a i , b i [,
d’après l’inégalité de Minkowski (voir I.6.35),
χ A − ψ p χ A − h p + h − ψ p
m
+∞
i=1
]a i , b i [ \ A
1/p
+
m
+∞
i=N +1
]a i , b i [
1/p
< δ
1/p + δ
1/p = 2δ
1/p .
Puisque l’on peut choisir δ > 0 arbitrairement petit, la démonstration
est complète.
II.3.26. D’après II.1.38, il existe un sous-ensemble mesurable A de [a , b] tel
que
m (A ∩ ]α , β[) > 0 et m (([a , b] \ A) ∩ ]α , β[) > 0
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