Solutions
II.3.20. Soit ε > 0. Par équi-intégrabilité de f n , il existe δ > 0 tel que
B |f n | dm <
ε
2 pour n ∈ N ∗ dès que m(B) < δ. On note alors que si m(B) < δ,
d’après le lemme de Fatou (théorème 2),
B
|f | dm lim
n→+∞
B
|f n | dm
ε
2
,
où f (x) = lim
n→+∞
f n (x). D’après le théorème d’Egorov (voir II.2.22), il existe
C ⊂ A tel que m(C) < δ et f n ⇒
A\C
f . Donc,
A
|f n − f | dm =
A\C
|f n − f | dm +
C
|f n − f | dm
A\C
|f n − f | dm +
C
|f n | dm +
C
|f | dm
A\C
|f n − f | dm + ε.
Il suffit maintenant d’appliquer le résultat de II.3.15.
II.3.21. On suppose, contrairement à l’énoncé, que la suite {a n } définie par
a n =
A f n dm ne converge pas vers a =
A f dm. Il existe alors une soussuite {a mn } qui converge vers b = a. Par ailleurs, d’après le théorème de Riesz
(voir II.2.35), il existe une sous-suite {f m kn } convergente vers f p.p. sur A.
Donc, d’après le théorème de convergence dominée de Lebesgue (théorème 3),
a m kn tend vers a lorsque n tend vers +∞, contradiction.
II.3.22. La démonstration est semblable à celle du problème précédent.
II.3.23. On remarque d’abord que, d’après II.2.16, les fonctions g(f n ) et
g(f ) sont mesurables sur A. Clairement, g est uniformément continue sur
[−C , C] et, étant donné ε > 0, il existe donc δ > 0 tel que
|g(f n (x)) − g(f (x))| < ε
pour tout x ∈ A et tout n ∈ N ∗ pour lesquels |f n (x) − f (x)| < δ. Il s’ensuit
que
{x ∈ A : |g(f n (x)) − g(f (x))| ε} ⊂ {x ∈ A : |f n (x) − f (x)| δ} ,
ce qui prouve que g(f n ) tend vers g(f ) en mesure. De plus, m(A) < +∞ et
|g(f n (x))| M où M = max {|g(x)| : x ∈ [−C , C]} et on peut appliquer le
résultat de II.3.21.
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II.3.20. Soit ε > 0. Par équi-intégrabilité de f n , il existe δ > 0 tel que
B |f n | dm <
ε
2 pour n ∈ N ∗ dès que m(B) < δ. On note alors que si m(B) < δ,
d’après le lemme de Fatou (théorème 2),
B
|f | dm lim
n→+∞
B
|f n | dm
ε
2
,
où f (x) = lim
n→+∞
f n (x). D’après le théorème d’Egorov (voir II.2.22), il existe
C ⊂ A tel que m(C) < δ et f n ⇒
A\C
f . Donc,
A
|f n − f | dm =
A\C
|f n − f | dm +
C
|f n − f | dm
A\C
|f n − f | dm +
C
|f n | dm +
C
|f | dm
A\C
|f n − f | dm + ε.
Il suffit maintenant d’appliquer le résultat de II.3.15.
II.3.21. On suppose, contrairement à l’énoncé, que la suite {a n } définie par
a n =
A f n dm ne converge pas vers a =
A f dm. Il existe alors une soussuite {a mn } qui converge vers b = a. Par ailleurs, d’après le théorème de Riesz
(voir II.2.35), il existe une sous-suite {f m kn } convergente vers f p.p. sur A.
Donc, d’après le théorème de convergence dominée de Lebesgue (théorème 3),
a m kn tend vers a lorsque n tend vers +∞, contradiction.
II.3.22. La démonstration est semblable à celle du problème précédent.
II.3.23. On remarque d’abord que, d’après II.2.16, les fonctions g(f n ) et
g(f ) sont mesurables sur A. Clairement, g est uniformément continue sur
[−C , C] et, étant donné ε > 0, il existe donc δ > 0 tel que
|g(f n (x)) − g(f (x))| < ε
pour tout x ∈ A et tout n ∈ N ∗ pour lesquels |f n (x) − f (x)| < δ. Il s’ensuit
que
{x ∈ A : |g(f n (x)) − g(f (x))| ε} ⊂ {x ∈ A : |f n (x) − f (x)| δ} ,
ce qui prouve que g(f n ) tend vers g(f ) en mesure. De plus, m(A) < +∞ et
|g(f n (x))| M où M = max {|g(x)| : x ∈ [−C , C]} et on peut appliquer le
résultat de II.3.21.
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