Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.3.17. On a g − f n 0 et g + f n 0. D’après le lemme de Fatou (théorème 2),
A
lim
n→+∞
(f n + g) dm lim
n→+∞
A
(f n + g) dm
et
A
lim
n→+∞
(g − f n ) dm lim
n→+∞
A
(g − f n ) dm.
En utilisant donc les propriétés des limites inférieures et supérieures (voir, par
exemple, II.4.19 (vol. I) et II.4.21 (vol. I)), on obtient
A
lim
n→+∞
f n dm +
A
g dm lim
n→+∞
A
f n dm +
A
g dm
et
A
g dm −
A
lim
n→+∞
f n dm
A
g dm − lim
n→+∞
A
f n dm.
Puisque g est intégrable, le résultat suit.
II.3.18. On a
+∞
n=1
f n (x) = 1 et
]0 ,1[
+∞
n=1
f n dm = 1. Par ailleurs,
]0 ,1[ f n dm = 0 pour n ∈ N ∗ . De plus, puisque
]0,1[
|f n | dm =
n
n+1
0
f n (x) dx +
1
n
n+1
−f n (x) dx =
2
1 +
1
n
n ×
1
n + 1
,
on voit que
+∞
n=1
]0,1[ |f n | dm = +∞.
II.3.19. Le théorème de convergence monotone de Lebesgue (théorème 1)
implique
+∞
n=1
A
|f n | dm =
A
+∞
n=1
|f n | dm < +∞
et la série
+∞
n=1
|f n | converge donc p.p. Ceci implique alors la convergence p.p.
de
+∞
n=1
f n . Il suffit maintenant d’appliquer le théorème de convergence dominée
de Lebesgue (théorème 3).
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