Solutions
si m(B) < δ. D’après le théorème d’Egorov (voir II.2.22), il existe C ⊂ A tel
que m(C) < δ et f n ⇒
A\C
f . D’après II.3.14, on a alors
lim
n→+∞
C
|f n |
p dm =
C
|f |
p dm.
Donc, pour n suffisamment grand,
A
|f n − f |
p dm =
A\C
|f n − f |
p dm +
C
|f n − f |
p dm
A\C
|f n − f |
p dm + 2
p
C
|f |
p dm +
C
|f n |
p dm
A\C
|f n − f |
p dm + 2
p+1
C
|f |
p dm + ε
A\C
|f n − f |
p dm +
2
p+1 + 1
ε.
Il suffit maintenant d’appliquer le résultat de II.3.15.
Si m(A) = +∞, étant donné ε > 0, on trouve alors un sous-ensemble B
de A de mesure finie tel que
A
|f |
p dm <
B
|f |
p dm + ε.
En effet, en prenant
g n (x) =
|f (x)|
p si x ∈ A ∩ [−n , n],
0
si x ∈ A \ [−n , n],
on obtient, par le théorème de convergence monotone de Lebesgue (théorème 1),
lim
n→+∞
A
g n dm = lim
n→+∞
A∩[−n ,n]
|f |
p dm =
A
|f |
p dm.
Il suffit donc de prendre B = A ∩ [−n 0 , n 0 ] avec n 0 suffisamment grand. Mais
alors, pour n suffisamment grand,
A
|f n − f |
p dm =
B
|f n − f |
p dm +
A\B
|f n − f |
p dm
B
|f n − f |
p dm + 2
p+1
A\B
|f |
p dm + ε
B
|f n − f |
p dm +
2
p+1 + 1
ε <
2
p+1 + 2
ε,
la dernière inégalité se déduisant de la première partie de la démonstration.
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