Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
Il s’ensuit que
A
f dm − εm(A) S(ε)
A
f dm
et le passage à la limite lorsque ε tend vers 0 donne le résultat cherché car
m(A) < +∞.
II.3.14. D’après le lemme de Fatou (théorème 2),
A
f dm lim
n→+∞
A
f n dm lim
n→+∞
A
f n dm
lim
n→+∞
R
f n dm −
R\A
f n dm
= lim
n→+∞
R
f n dm − lim
n→+∞
R\A
f n dm
R
f dm −
R\A
f dm =
A
f dm.
Donc, lim
n→+∞
A f n dm =
A f dm.
II.3.15. Puisque {f n } est uniformément convergente sur A, il existe n 0 tel
que |f n (x) − f n 0 (x)| 1 pour n > n 0 et x ∈ A. Donc, |f n | |f n 0 | + 1 et,
puisque A est de mesure finie, |f n 0 | + 1 est intégrable sur A. Il suffit donc
d’appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue (théorème 3).
II.3.16. Supposons d’abord que
lim
n→+∞
A
|f n − f |
p dm = 0.
On a alors, d’après l’inégalité de Minkowski (voir I.6.35),
f n p f n − f p + f p et f p f n − f p + f n p ,
d’où
f n p − −f p
f n − f p , ce qui montre que
lim
n→+∞
A
|f n |
p dm =
A
|f |
p dm.
Pour prouver l’implication réciproque, on suppose d’abord que A est de mesure
finie. Il découle de la continuité absolue de l’intégrale de Lebesgue (voir, par
exemple, II.3.4) que, étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que
B |f |
p dm < ε
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