Solutions
+∞
k=0
(k + 1)m(A k ) converge alors aussi. De plus, si on pose g(x) = k + 1 pour
x ∈ A k , alors 0 f (x) g(x) pour x ∈ A, d’où
A
f dm
A
g dm =
+∞
k=0
(k + 1)m(A k ) < +∞.
II.3.12. Si les A k sont les ensembles définis au problème précédent, alors
le résultat sera démontré si on prouve que la série
+∞
k=0
m(B k ) converge si et
seulement si
+∞
k=0
km(A k ) converge. On a B k = A k ∪ A k+1 ∪ · · · et, puisque
A i ∩ A j = ∅ pour i = j, on obtient m(B k ) = m(A k ) + m(A k+1 ) + · · · . On
pose b k = m(B k ) et a k = m(A k ). On a
n
k=1
b k =
n
k=0
ka k +
+∞
k=n+1
na k .
Si la série
+∞
k=0
ka k converge, alors
+∞
k=n+1
na k
+∞
k=n+1
ka k − −−−− →
n→+∞
0
et
+∞
k=0
b k < +∞. Dans l’autre sens, si
+∞
k=0
b k < +∞, alors
n
k=0
ka k =
n
k=1
b k −
+∞
k=n+1
na k
+∞
k=1
b k < +∞.
II.3.13. Les ensembles A n sont mesurables et deux à deux disjoints et
A =
+∞
n=0
A n ∪ B, où B = {x ∈ A : f (x) = +∞} est de mesure nulle. On a
S(ε) =
+∞
n=0
nεm(A n ) =
+∞
n=0
An
nε dm
+∞
n=0
An
f dm =
A
f dm,
car l’intégrale de Lebesgue est dénombrablement additive. De même,
S(ε) + εm(A) =
+∞
n=0
(n + 1)εm(A n )
A
f dm.
285