Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.3.9. On suppose que lim
n→+∞
A f n dm = 0 et on se donne ε > 0. On pose
A n = {x ∈ A : f n (x) > ε}. On a alors
m(A n ) =
1
ε
An
ε dm
1
ε
An
f n dm
1
ε
A
f n dm.
Donc, lim
n→+∞
m(A n ) = 0.
La suite {f n } définie dans la solution de II.2.33 vérifie la condition
lim
n→+∞
[0 ,1] f n dm = 0, mais elle ne converge vers zéro en aucun point de [0 , 1].
II.3.10. Étant donné ε > 0, on pose A n = {x ∈ A : |f n (x)| > ε}. On a
ε
1 + ε
m(A n )
A
|f n |
1 + |f n |
dm m(A n ) +
ε
1 + ε
m(A \ A n ),
ce qui implique le résultat cherché.
Pour prouver que l’hypothèse m(A) < +∞ est essentielle, on considère
f n (x) =
1
nx pour x ∈ R ∗
+ . On a alors m
x > 0 :
1
nx > ε
=
1
εn , mais pour
tout n ∈ N ∗ ,
]0 ,+∞[
1
1 + nx
dm = +∞.
II.3.11. On suppose que la fonction f est Lebesgue-intégrable sur A et que
la série
+∞
k=0
km(A k ) diverge. En posant
f n (x) =
f (x) si f (x) < n,
n
si f (x) n,
on obtient
A
f dm
A
f n dm
n−1
k=0
A k
f dm
n−1
k=0
km(A k ).
Puisque lim
n→+∞
n−1
k=0
km(A k ) = +∞, on voit que
A f dm = +∞, contradiction. On suppose maintenant que la série
+∞
k=0
km(A k ) converge. La série
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