Solutions
Clairement, |f | − ϕ n 0 0 et ϕ n 0 M pour un certain M strictement positif.
On pose δ =
ε
2M . Si B ⊂ A et m(B) < δ, alors
B
|f | dm =
B
(|f | − ϕ n 0 ) dm +
B
ϕ n 0 dm
A
(|f | − ϕ n 0 ) dm +
B
M dm <
ε
2
+
ε
2M
M = ε.
II.3.5. On remarque d’abord que m(A n ) tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.
En effet, puisque
n × m(A n )
An
|f | dm
A
|f | dm = M < +∞,
on a m(A n )
M
n . Le résultat du problème précédent implique
alors lim
n→+∞
An |f | dm = 0. Donc, lim
n→+∞
n × m(A n ) = 0 parce que
n × m(A n )
An |f | dm.
II.3.6. On pose A n =
x ∈ A : f (x) >
1
n
. On a
0 =
A
f dm
An
f dm
An
1
n
dm =
1
n
m(A n ) 0.
Donc, m(A n ) = 0 et, d’après II.1.18,
m ({x ∈ A : f (x) = 0}) = m
+∞
n=1
A n
= lim
n→+∞
m(A n ) = 0.
II.3.7. On pose B = {x ∈ A : f (x) 0}. On a 0 =
B f dm =
A f + dm.
D’après le résultat du problème précédent, f + = 0 p.p. sur A. De même,
f − = 0 p.p. sur A.
II.3.8. Supposons, par exemple, que
A f dm 0. On obtient alors,
A |f | dm =
A f dm. D’après le résultat de II.3.6,
A (|f | − f ) dm = 0 si
et seulement si |f | − f = 0 p.p. sur A. Dans le cas où
A f dm 0, on peut
appliquer le même raisonnement à −f .
283