Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.2.38. Soit H n et H les ensembles définis dans la solution du problème
précédent. On pose
f n (x) =
f (x) si x ∈ H n ,
0
si x ∈ A \ H n .
On doit prouver que chaque fonction f n appartient à la première classe de
Baire sur A. Pour cela, on pose f n,m (x) = f (x) si x ∈ H n et f n,m (x) = 0 si
dist(x, H n )
1
m et on prolonge cette fonction en une fonction continue sur R
en utilisant le théorème de prolongement de Tietze (le prolongement est encore
noté f n,m ). On a alors f n (x) = lim
m→+∞
f n,m (x) pour x ∈ A. Si maintenant
g(x) = lim
n→+∞
f n (x) =
f (x) si x ∈ H,
0
si x ∈ A \ H,
alors g est dans la seconde classe de Baire et f = g p.p. sur A.
II.3. Intégrale de Lebesgue
II.3.1. Puisque m(Q) = 0, on a
[0 ,1] f dm =
[0 ,1] x 2 dm =
1
0 x 2 dx =
1
3 . La
fonction n’est pas Riemann-intégrable sur [0 , 1] car f est discontinue en tout
point de [0 , 1[ (comparer avec II.1.55).
II.3.2. Puisque m(C) = 0, on a
[0 ,1]
f dm =
[0 ,1]\C
f dm =
+∞
n=1
n2
n−1 1
3 n = 3.
II.3.3. Il découle des propriétés de l’intégrale de Lebesgue que
[0 ,1]
f dm =
1/2
0
sin(πx) dx +
1
1/2
cos(πx) dx = 0.
II.3.4. Par définition de l’intégrale de Lebesgue, il existe une suite croissante
{ϕ n } de fonctions simples positives convergente vers |f | sur A telle que
A
|f | dm = lim
n→+∞
A
ϕ n dm.
Donc, étant donné ε > 0, il existe n 0 tel que
A
(|f | − ϕ n 0 ) dm =
A
|f | dm −
A
ϕ n 0 dm <
ε
2
.
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