Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
où B k,n = f (I k,n ). La fonction v n compte le nombre d’intervalles I k,n sur
lesquels l’équation f (x) = y admet au moins une solution. De plus, si
m k,n = inf {f (x) : x ∈ I k,n }
et M k,n = sup {f (x) : x ∈ I k,n }, alors B k,n = f (I k,n ) est un intervalle d’extrémités m k,n et M k,n . La fonction v n est donc mesurable et
R
v n (y) dy =
2 n −1
k=0
m(B k,n ) =
2 n −1
k=0
(M k,n − m k,n ) .
Il découle alors de I.2.16 que lim
n→+∞
R v n (y) dy = V (f ; a, b). Par ailleurs, {v n }
est une suite croissante et v n (y) v(y). Si on prouve que lim
n→+∞
v n (y) = v(y)
p.p., le résultat suivra comme conséquence du théorème de convergence monotone (voir II.3, th. 1). Pour cela, on note que si y = f (a + k(b − a)2 −n )
et si v(y) = p ∈ N ∗ , on a alors aussi v n (y) = p pour n suffisamment grand.
Si v(y) = +∞ et y = f (a + k(b − a)2 −n ), étant donné q ∈ N ∗ , il existe
alors N tel que v N (y) q. Ceci montre que lim
n→+∞
v n (y) = v(y) pour tout
y = f (a + k(b − a)2 −n ).
II.4.9. On suit la démonstration présentée dans [23]. Supposons que f ne
soit pas absolument continue, une contradiction en découlera. Il existe ε 0 tel
que, pour tout δ > 0, il existe une collection finie {]x k , x
k [} d’intervalles ouverts deux à deux disjoints de [a , b] vérifiant
n
k=1
(x
k − x k ) < δ et tels que
n
k=1
|f (x k ) − f (x
k )| ε 0 . On choisit une suite {δ i } telle que la série
+∞
i=1
δ i
converge. Pour chaque δ i , on trouve une collection finie
x k,i , x
k,i
d’intervalles ouverts de [a , b], deux à deux disjoints, vérifiant
n
k=1
(x
k,i − x k,i ) < δ i et
tels que
n i
k=1
(M k,i − m k,i )
n i
k=1
f (x
k,i ) − f (x k,i )
ε 0 ,
où M k,i = sup
f (x) : x ∈
x k,i , x
k,i
et m k,i = inf
f (x) : x ∈
x k,i , x
k,i
.
On pose
A i =
n i
i=1
x k,i , x
k,i
et A =
+∞
n=1
+∞
i=n
A i .
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