Solutions
Dans le cas où y → m f (y) est continue et strictement décroissante, sa fonction
réciproque est la fonction g cherchée, car
m g (y) = m
g
−1 (]y , +∞[)
= m (m f (]y , +∞[))
= m (]0 , m f (y)[) = m f (y).
Si y 0 est un point de discontinuité de m f , on pose alors g(x) = y 0 pour
x ∈
m(y 0 ) , m f (y
−
0 )
. Si m f (y) = x 0 sur un intervalle, on pose alors
g(x 0 ) = inf {y : m f (y) = x 0 }. En prenant en compte les discontinuités et les intervalles où m f (y) est constante, on peut vérifier que l’ensemble {x : g(x) > y}
est un intervalle de longueur m f (y). On remarque enfin qu’on peut définir la
fonction g par g(x) = inf {y : m f (y) x}.
II.2.30. Pour ε > 0, on a
{x ∈ A : |f (x) − g(x)| > ε} ⊂
x ∈ A : |f (x) − f n (x)| >
ε
2
∪
x ∈ A : |f n (x) − g(x)| >
ε
2
.
D’où, m ({x ∈ A : |f (x) − g(x)| > ε}) = 0. De plus, puisque
{x ∈ A : f (x) = g(x)} =
+∞
k=1
x ∈ A : |f (x) − g(x)| >
1
k
,
la propriété en découle.
II.2.31. Soit ε > 0. Pour n ∈ N ∗ , on pose
B n = {x ∈ A : |f n (x) − f (x)| > ε} et A n =
+∞
k=n
B k .
La suite {A n } est alors une suite décroissante d’ensembles mesurables et,
d’après II.1.19 et II.1.21,
lim
n→+∞
m(A n ) = m
+∞
n=1
A n
= m
lim
n→+∞
B n
.
Puisque lim
n→+∞
B n ⊂ {x ∈ A : f n (x) ne tend pas vers f (x)} et puisque la suite
{f n } converge vers f p.p. sur A, on obtient m
lim
n→+∞
B n
= 0 et, en conséquence, lim
n→+∞
m(B n ) = 0.
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