Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.2.32. On choisit A = R + et on pose
f n (x) =
1 si x ∈ [n , n + 1],
0 si x ∈ A \ [n , n + 1].
La suite {f n } converge alors vers la fonction nulle sur A mais, pour tout
n ∈ N ∗ , m
x ∈ A : f n (x) >
1
2
= 1.
II.2.33. Il est clair que tout entier n strictement positif peut s’écrire de façon
unique comme n = 2 k + r, où k ∈ N et 0 r < 2 k . Pour n = 2 k + r, on définit
f n (x) =
1 si x ∈
r
2 k ,
r+1
2 k
,
0 sinon.
Les huit premiers termes de la suite sont représentés ci-dessus. La suite
{f n } converge en mesure vers la fonction nulle sur [0 , 1]. Cependant, elle ne
converge vers zéro en aucun point de [0 , 1].
II.2.34. La sous-suite {f 2 n } converge vers zéro sur ]0 , 1].
II.2.35. Puisque {f n } converge en mesure vers f sur A, pour tout entier
strictement positif k, il existe n k tel que
m
x ∈ A : |f n k (x) − f (x)| >
1
k
1
2 k .
280
II.2.32. On choisit A = R + et on pose
f n (x) =
1 si x ∈ [n , n + 1],
0 si x ∈ A \ [n , n + 1].
La suite {f n } converge alors vers la fonction nulle sur A mais, pour tout
n ∈ N ∗ , m
x ∈ A : f n (x) >
1
2
= 1.
II.2.33. Il est clair que tout entier n strictement positif peut s’écrire de façon
unique comme n = 2 k + r, où k ∈ N et 0 r < 2 k . Pour n = 2 k + r, on définit
f n (x) =
1 si x ∈
r
2 k ,
r+1
2 k
,
0 sinon.
Les huit premiers termes de la suite sont représentés ci-dessus. La suite
{f n } converge en mesure vers la fonction nulle sur [0 , 1]. Cependant, elle ne
converge vers zéro en aucun point de [0 , 1].
II.2.34. La sous-suite {f 2 n } converge vers zéro sur ]0 , 1].
II.2.35. Puisque {f n } converge en mesure vers f sur A, pour tout entier
strictement positif k, il existe n k tel que
m
x ∈ A : |f n k (x) − f (x)| >
1
k
1
2 k .
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