Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
est continue. Ceci implique que l’ensemble F 0 = {x ∈ F : f (x) c} = A 0 ∩ F
est fermé. Puisque A 0 \F 0 ⊂ A\F, on a m(A 0 \F 0 ) < ε. La mesurabilité de A 0
se déduit donc de II.1.12(iv) et f est mesurable. On prouve maintenant que
la condition est nécessaire. On suppose d’abord que f est une fonction bornée.
D’après le théorème d’approximation des fonctions mesurables (théorème 4),
il existe une suite {ϕ n } de fonctions simples uniformément convergente vers
f sur A. On note que, pour chaque fonction simple ϕ n , il existe un ensemble
fermé F n tel que m(A \ F n ) <
ε
2 n et la restriction de ϕ n à F n est continue. La
restriction de f à F =
+∞
n=1
F n est donc continue et
m(A \ F) = m
+∞
n=1
(A \ F n )
<
+∞
n=1
ε
2 n = ε.
Dans le cas où f n’est pas bornée, on considère la fonction g(x) = Arctan f (x)
(donc f = tan g) et on applique II.2.16.
II.2.28. Soit A l’ensemble construit dans la solution de II.1.38 et soit f la
fonction caractéristique de A. La restriction de f à R \ E est donnée par
f (x) =
1 si x ∈ A \ E,
0 si x ∈ (R \ A) \ E.
Il découle de la propriété de A que pour tout intervalle ouvert ]α , β[,
m (]α , β[ ∩ (A \ E)) > 0 et m (]α , β[ ∩ ((R \ A) \ E)) > 0.
Donc, si x 0 ∈ A \ E, alors tout voisinage de x 0 contient des points de A \ E
et des points de (R \ A) \ E et f n’est donc pas continue en x 0 . Le même
raisonnement s’applique dans le cas où x 0 ∈ (R \ A) \ E.
II.2.29. On pose m f (y) = m ({x ∈ [0 , a] : f (x) > y}). La fonction m f est
décroissante sur R, lim
y→+∞
m f (y) = 0 et lim
y→−∞
m f (y) = a. De plus, la fonction
est continue à droite. En effet, si {y n } est une suite décroissante convergente
vers y, alors
m f (y) = m
f
−1 (]y , +∞[)
= m
+∞
n=1
f
−1 (]y n , +∞[)
= lim
n→+∞
m
f
−1 (]y n , +∞[)
= lim
n→+∞
m f (y n ).
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