Solutions
II.2.20. On prolonge la fonction f en posant f (x) = f (b)(x − b) + f (b) pour
x > b de sorte que la fonction prolongée soit dérivable sur [a , +∞[. On observe
alors que
f
(x) = lim
n→+∞
n
f
x +
1
n
− f (x)
pour x ∈ [a , b]. Le résultat découle du théorème 3 et de II.2.7.
II.2.21. On pose
A n = {x ∈ A : |f (x)| > n} , n ∈ N
∗ .
Si C = {x ∈ A : |f (x)| = +∞}, par hypothèse, m(C) = 0. De plus,
A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ · · · et C =
+∞
n=1
A n .
D’après le résultat de II.1.17, lim
n→+∞
m(A n ) = lim
n→+∞
m(C) = 0. D’où, étant
donné ε > 0, il existe n 0 tel que m(A n 0 ) < ε. On pose donc B = A \ A n 0 .
II.2.22. Par hypothèse, il existe A 0 ⊂ A tel que m(A 0 ) = 0 et, pour tout
x ∈ A 1 = A \ A 0 ,
lim
n→+∞
f n (x) = f (x), |f n (x)| < +∞, n ∈ N
∗ .
Pour des entiers strictement positifs m et n, on définit
A m,n =
x ∈ A 1 : |f j (x) − f (x)| <
1
m
pour tout j n
=
+∞
j=n
x ∈ A 1 : |f j (x) − f (x)| <
1
m
.
On a
A m,1 ⊂ A m,2 ⊂ · · · pour m ∈ N
∗
et
A 1 =
+∞
n=1
A m,n
car la suite {f n } converge vers f sur A 1 . D’après le résultat de II.1.16,
m(A 1 ) = lim
n→+∞
m(A m,n )
et, étant donné m ∈ N ∗ et ε > 0, il existe un entier strictement positif n m tel
que
m (A 1 \ A m,nm ) = m(A 1 ) − m (A m,nm ) <
ε
2 m .
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