Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
Donc, si
A 2 = A 0 ∪
+∞
m=1
(A 1 \ A m,nm ) ,
alors
m(A 2 )
+∞
m=1
m(A 1 \ A m,nm ) <
+∞
m=1
ε
2 m = ε.
On pose B = A \ A 2 et on note que B =
+∞
m=1
A m,nm . Donc si x ∈ B, alors
x ∈ A m,nm pour m ∈ N ∗ , ce qui signifie que
|f j (x) − f (x)| <
1
m
pour j n m .
Ceci montre que la suite {f n } converge uniformément vers f sur B.
II.2.23. Si A = [0 , +∞[ et f n = χ [n,+∞[ , alors {f n } converge vers f = 0
sur A. Supposons qu’il existe B tel que m(A \ B) < ε et {f n } converge uniformément vers la fonction nulle sur B. Alors m(B) = +∞ et B est donc un
ensemble non borné. Pour tout n ∈ N ∗ , il existe alors x n ∈ B ∩ [n , +∞[ et
f (x n ) = 1, contradiction.
II.2.24. Supposons d’abord que m(A) < +∞. D’après le théorème d’Egorov
(voir II.2.22), il existe B 1 ⊂ A tel que m(A \ B 1 ) <
1
2 et f n converge uniformément sur B 1 vers f . En appliquant le théorème d’Egorov à l’ensemble
A \ B 1 , on trouve B 2 ⊂ (A \ B 1 ) tel que m (A \ (B 1 ∪ B 2 )) <
1
2 2 et f n
converge uniformément sur B 2 vers f . On trouve par récurrence une suite
d’ensembles mesurables {B i } telle que B i ⊂ A \
i−1
k=1
B k , m
A \
i
k=1
B k
<
1
2 i
et f n converge uniformément sur B i vers f . On voit, en posant B =
+∞
k=1
B k ,
que
m(A \ B) = m
A \
+∞
k=1
B k
m
A \
i
k=1
B k
<
1
2 i
pour tout i ∈ N ∗ , ce qui donne m(A \ B) = 0. Supposons maintenant que
m(A) = +∞. Alors A =
+∞
k=1
A k où m(A k ) < +∞ et on peut appliquer le
résultat prouvé précédemment sur chaque A k .
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