Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.2.17. L’exemple suivant montre que la réponse est NON. Soit f la fonction
définie dans la solution de II.2.13(a). cette fonction est strictement croissante
et continue sur [0 , 1] et l’image de [0 , 1] par f est [0 , 2]. De plus, puisque
m(f (C)) = 1, C étant l’ensemble de Cantor, il existe un ensemble non mesurable V ⊂ f (C) (voir II.1.48). Il est aussi clair que A = f −1 (V) ⊂ C
est mesurable. On pose maintenant g(x) = f −1 (x) pour x ∈ [0 , 2] et on note
h = χ A la fonction caractéristique de A. Pour voir que h ◦ g n’est pas mesurable, on observe que
{x ∈ [0 , 2] : (h ◦ g)(x) > 0} = V.
II.2.18. Il suffit d’utiliser les résultats de II.2.5 et II.2.6 et le fait que
(f ◦ g)
−1 (G) = g
−1
f
−1 (G)
.
On notera ici que le résultat de II.2.16 est un cas particulier de II.2.18.
II.2.19. Soit f la fonction définie dans la solution de II.2.13(a). L’image de
[0 , 1] par f est [0 , 2] et m(f (C)) = 1, C étant l’ensemble de Cantor. D’après le
résultat de II.1.48, il existe un ensemble non mesurable V ⊂ f (C). De plus,
puisque A = f −1 (V) ⊂ C, l’ensemble A est mesurable. On peut supposer,
sans perte de généralité, que 0, 1 ∈ A. On définit
f 1 (x) =
f (x)
si x ∈ A,
2 + f (x) si x ∈ [0 , 1] \ A
et
g(x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
f 1 (x)
si x ∈ [0 , 1],
f 1 (x − 1) + 2 si x ∈ (A + 1) \ {1},
f 1 (x − 1) − 2 si x ∈ ([0 , 1] \ A) + 1.
L’application g est alors bijective de [0 , 2] sur [0 , 4]. Puisque A est un ensemble mesurable et que f est une fonction mesurable, g est aussi mesurable.
Pour prouver que g −1 n’est pas mesurable, on observe d’abord que
g ([0 , 1]) = g(A) ∪ g ([0 , 1] \ A) = V ∪ (2 + ([0 , 2] \ V)) .
Ceci signifie que
g
−1
−1 ([0 , 1]) = V ∪ (2 + ([0 , 2] \ V)) .
Si (g −1 ) −1 ([0 , 1]) est mesurable, alors l’ensemble
g
−1
−1 ([0 , 1]) \ [2 , 4] = V \ {2}
l’est aussi, contradiction.
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II.2.17. L’exemple suivant montre que la réponse est NON. Soit f la fonction
définie dans la solution de II.2.13(a). cette fonction est strictement croissante
et continue sur [0 , 1] et l’image de [0 , 1] par f est [0 , 2]. De plus, puisque
m(f (C)) = 1, C étant l’ensemble de Cantor, il existe un ensemble non mesurable V ⊂ f (C) (voir II.1.48). Il est aussi clair que A = f −1 (V) ⊂ C
est mesurable. On pose maintenant g(x) = f −1 (x) pour x ∈ [0 , 2] et on note
h = χ A la fonction caractéristique de A. Pour voir que h ◦ g n’est pas mesurable, on observe que
{x ∈ [0 , 2] : (h ◦ g)(x) > 0} = V.
II.2.18. Il suffit d’utiliser les résultats de II.2.5 et II.2.6 et le fait que
(f ◦ g)
−1 (G) = g
−1
f
−1 (G)
.
On notera ici que le résultat de II.2.16 est un cas particulier de II.2.18.
II.2.19. Soit f la fonction définie dans la solution de II.2.13(a). L’image de
[0 , 1] par f est [0 , 2] et m(f (C)) = 1, C étant l’ensemble de Cantor. D’après le
résultat de II.1.48, il existe un ensemble non mesurable V ⊂ f (C). De plus,
puisque A = f −1 (V) ⊂ C, l’ensemble A est mesurable. On peut supposer,
sans perte de généralité, que 0, 1 ∈ A. On définit
f 1 (x) =
f (x)
si x ∈ A,
2 + f (x) si x ∈ [0 , 1] \ A
et
g(x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
f 1 (x)
si x ∈ [0 , 1],
f 1 (x − 1) + 2 si x ∈ (A + 1) \ {1},
f 1 (x − 1) − 2 si x ∈ ([0 , 1] \ A) + 1.
L’application g est alors bijective de [0 , 2] sur [0 , 4]. Puisque A est un ensemble mesurable et que f est une fonction mesurable, g est aussi mesurable.
Pour prouver que g −1 n’est pas mesurable, on observe d’abord que
g ([0 , 1]) = g(A) ∪ g ([0 , 1] \ A) = V ∪ (2 + ([0 , 2] \ V)) .
Ceci signifie que
g
−1
−1 ([0 , 1]) = V ∪ (2 + ([0 , 2] \ V)) .
Si (g −1 ) −1 ([0 , 1]) est mesurable, alors l’ensemble
g
−1
−1 ([0 , 1]) \ [2 , 4] = V \ {2}
l’est aussi, contradiction.
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