Solutions
Puisque l’image de [0 , 1] par f est [0 , 2], on obtient
2 = m([0 , 2]) = m(f (C)) + m(f ([0 , 1] \ C)) = m(f (C)) + 1.
Donc m(f (C)) = 1. D’après le résultat de II.1.48, il existe un ensemble
non mesurable V contenu dans f (C). Mais alors A = f −1 (V) ⊂ C est
mesurable alors que son image f (A) = f (f −1 (V)) = V ne l’est pas.
(b) Il suffit de prendre g = f −1 où f est une fonction définie comme précédemment.
II.2.14. On remarque que l’ensemble A = f −1 (V) construit dans la solution du problème précédent est un exemple d’ensemble mesurable qui n’est
pas un borélien. En effet, s’il s’agissait d’un borélien, alors d’après le résultat
de II.2.12, f (A) = V serait aussi un borélien, contradiction.
II.2.15. On suppose d’abord que la fonction continue f vérifie la condition
E ⊂ [a , b] et m(E) = 0 implique m(f (E)) = 0.
(∗)
Si A ⊂ [a , b] est mesurable, il existe alors un F σ -ensemble F ⊂ A et un ensemble E ⊂ [a , b] de mesure nulle tels que A = F ∪ E (voir II.1.12). Puisque
f (A) = f (F) ∪ f (E), où f (F) est un F σ -ensemble et m(f (E)) = 0, f (A) est
mesurable. On suppose maintenant que l’image f (A) de tout ensemble mesurable A est mesurable. Si la condition (∗) n’est pas vérifiée, il existe alors E 0
de mesure nulle tel que m(f (E 0 )) > 0. D’après II.1.45, il existe un ensemble
non mesurable V ⊂ f (E 0 ), contradiction.
II.2.16. Pour tout réel c, on a
(f ◦ g)
−1 (]−∞ , c[) = g
−1
f
−1 (]−∞ , c[)
.
Par continuité de f , l’ensemble f −1 (]−∞ , c[) est ouvert dans g(A), autrement
dit, f −1 (]−∞ , c[) = g(A) ∩ G, où G est un ouvert de R. En conséquence,
(f ◦ g)
−1 (]−∞ , c[) = g
−1 (g(A) ∩ G) = A ∩ g
−1 (G)
est un ensemble mesurable.
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Puisque l’image de [0 , 1] par f est [0 , 2], on obtient
2 = m([0 , 2]) = m(f (C)) + m(f ([0 , 1] \ C)) = m(f (C)) + 1.
Donc m(f (C)) = 1. D’après le résultat de II.1.48, il existe un ensemble
non mesurable V contenu dans f (C). Mais alors A = f −1 (V) ⊂ C est
mesurable alors que son image f (A) = f (f −1 (V)) = V ne l’est pas.
(b) Il suffit de prendre g = f −1 où f est une fonction définie comme précédemment.
II.2.14. On remarque que l’ensemble A = f −1 (V) construit dans la solution du problème précédent est un exemple d’ensemble mesurable qui n’est
pas un borélien. En effet, s’il s’agissait d’un borélien, alors d’après le résultat
de II.2.12, f (A) = V serait aussi un borélien, contradiction.
II.2.15. On suppose d’abord que la fonction continue f vérifie la condition
E ⊂ [a , b] et m(E) = 0 implique m(f (E)) = 0.
(∗)
Si A ⊂ [a , b] est mesurable, il existe alors un F σ -ensemble F ⊂ A et un ensemble E ⊂ [a , b] de mesure nulle tels que A = F ∪ E (voir II.1.12). Puisque
f (A) = f (F) ∪ f (E), où f (F) est un F σ -ensemble et m(f (E)) = 0, f (A) est
mesurable. On suppose maintenant que l’image f (A) de tout ensemble mesurable A est mesurable. Si la condition (∗) n’est pas vérifiée, il existe alors E 0
de mesure nulle tel que m(f (E 0 )) > 0. D’après II.1.45, il existe un ensemble
non mesurable V ⊂ f (E 0 ), contradiction.
II.2.16. Pour tout réel c, on a
(f ◦ g)
−1 (]−∞ , c[) = g
−1
f
−1 (]−∞ , c[)
.
Par continuité de f , l’ensemble f −1 (]−∞ , c[) est ouvert dans g(A), autrement
dit, f −1 (]−∞ , c[) = g(A) ∩ G, où G est un ouvert de R. En conséquence,
(f ◦ g)
−1 (]−∞ , c[) = g
−1 (g(A) ∩ G) = A ∩ g
−1 (G)
est un ensemble mesurable.
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