Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
ϕ(x
−
0 ) , ϕ(x 0 )
. Mais par ailleurs, ϕ(C) = [0 , 1], contradiction. On peut montrer de même que ϕ est continue en 0 et en 1. Puisque ϕ est une fonction
constante sur chaque intervalle ouvert enlevé dans la construction de l’ensemble de Cantor et que celui-ci est de mesure de Lebesgue nulle, ϕ (x) = 0
presque partout sur [0 , 1].
II.2.12. On rappelle d’abord que si f est une application bijective de X
sur Y, on a alors, pour A, B ⊂ X,
f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) et f (A \ B) = f (A) \ f (B).
On pose
A = {A ⊂ R : f (A) ∈ B} ,
où B représente la collection des ensembles boréliens. On prouve que A est
une σ-algèbre si f est bijective de R dans R. En effet, si A ∈ A, alors A c ∈ A
car f (A c ) = f (R \ A) = R \ f (A). De plus, si {A n } est une suite d’ensembles de A, alors f
+∞
n=1
A n
=
+∞
n=1
f (A n ), ce qui prouve que
+∞
n=1
A n ∈ A.
Puisque f est strictement monotone (voir, par exemple, I.3.16 (vol. II)), on
a f ([a , b]) = [f (a) , f(b)] ou f ([a , b]) = [f (b) , f(a)]. A contient donc tous les
intervalles fermés, donc tous les boréliens.
II.2.13.
(a) Soit ϕ la fonction de Cantor définie en II.2.11. On prolonge cette fonction à R tout entier en posant ϕ(x) = 0 si x < 0 et ϕ(x) = 1 si x > 1
et on pose f (x) = x + ϕ(x). L’application f est alors continue et strictement croissante de R sur R. D’après le résultat du précédent problème,
f envoie les ensembles boréliens sur des ensembles boréliens. On pose
C = [0 , 1] \
+∞
n=1
]a n , b n [, où {]a n , b n [} est la suite des intervalles qui ont
été enlevés durant la construction de l’ensemble de Cantor C. On montre
que m(f (C)) = 1. Pour cela, on remarque que
m(f ([0 , 1] \ C)) = m
+∞
n=1
f
]a n , b n [
=
+∞
n=1
m
f
]a n , b n [
=
+∞
n=1
m
]a n + ϕ(a n ) , b n + ϕ(b n )[
=
+∞
n=1
m
]a n , b n [
= 1.
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ϕ(x
−
0 ) , ϕ(x 0 )
. Mais par ailleurs, ϕ(C) = [0 , 1], contradiction. On peut montrer de même que ϕ est continue en 0 et en 1. Puisque ϕ est une fonction
constante sur chaque intervalle ouvert enlevé dans la construction de l’ensemble de Cantor et que celui-ci est de mesure de Lebesgue nulle, ϕ (x) = 0
presque partout sur [0 , 1].
II.2.12. On rappelle d’abord que si f est une application bijective de X
sur Y, on a alors, pour A, B ⊂ X,
f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) et f (A \ B) = f (A) \ f (B).
On pose
A = {A ⊂ R : f (A) ∈ B} ,
où B représente la collection des ensembles boréliens. On prouve que A est
une σ-algèbre si f est bijective de R dans R. En effet, si A ∈ A, alors A c ∈ A
car f (A c ) = f (R \ A) = R \ f (A). De plus, si {A n } est une suite d’ensembles de A, alors f
+∞
n=1
A n
=
+∞
n=1
f (A n ), ce qui prouve que
+∞
n=1
A n ∈ A.
Puisque f est strictement monotone (voir, par exemple, I.3.16 (vol. II)), on
a f ([a , b]) = [f (a) , f(b)] ou f ([a , b]) = [f (b) , f(a)]. A contient donc tous les
intervalles fermés, donc tous les boréliens.
II.2.13.
(a) Soit ϕ la fonction de Cantor définie en II.2.11. On prolonge cette fonction à R tout entier en posant ϕ(x) = 0 si x < 0 et ϕ(x) = 1 si x > 1
et on pose f (x) = x + ϕ(x). L’application f est alors continue et strictement croissante de R sur R. D’après le résultat du précédent problème,
f envoie les ensembles boréliens sur des ensembles boréliens. On pose
C = [0 , 1] \
+∞
n=1
]a n , b n [, où {]a n , b n [} est la suite des intervalles qui ont
été enlevés durant la construction de l’ensemble de Cantor C. On montre
que m(f (C)) = 1. Pour cela, on remarque que
m(f ([0 , 1] \ C)) = m
+∞
n=1
f
]a n , b n [
=
+∞
n=1
m
f
]a n , b n [
=
+∞
n=1
m
]a n + ϕ(a n ) , b n + ϕ(b n )[
=
+∞
n=1
m
]a n , b n [
= 1.
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