Solutions
II.2.11. On prouve d’abord que ϕ envoie l’ensemble de Cantor sur [0 , 1]. En
effet, tout élément de [0 , 1] peut s’écrire sous la forme
+∞
n=1
bn
2 n où b n = 0 ou 1.
Donc,
+∞
n=1
b n
2 n = ϕ
+∞
n=1
2b n
3 n
.
On note maintenant que la fonction de Cantor ϕ est constante sur chaque intervalle ouvert qui est retiré dans la construction de l’ensemble de Cantor C
(voir, par exemple, I.3.1 (vol. II) pour la construction de C). Puisque
ϕ
1
3
= ϕ
2
3
=
1
2 , on a
ϕ(x) =
1
2
pour x ∈
1
3
,
2
3
.
De plus, puisque ϕ
1
9
= ϕ
2
9
=
1
4 et ϕ
7
9
= ϕ
8
9
=
3
4 ,
ϕ(x) =
1
2 2 pour x ∈
1
3 2 ,
2
3 2
, ϕ(x) =
3
2 2 pour x ∈
7
3 2 ,
8
3 2
.
Par récurrence, la fonction ϕ prend successivement les valeurs
1
2 n ,
3
2 n ,
5
2 n , . . . ,
2 n − 1
2 n
sur les intervalles retirés à la n-ième étape de la construction de C. Le graphe
de ϕ est esquissé ci-dessous.
1
2
1
4
1
9
3
8
3
4
5
8
2
9
7
8
1
3
2
3
7
9
8
9
1
x
1
8
1
4
1
2
3
4
1
1
8
y
Il s’ensuit que la fonction de Cantor ϕ est croissante. On montre maintenant qu’elle est continue. Puisque ϕ est croissante, pour tout x 0 ∈ ]0 , 1[,
on a ϕ(x
−
0 ) ϕ(x 0 ) ϕ(x
+
0 ) (voir, par exemple, I.1.35 (vol. II)). Si, par
exemple, ϕ(x
−
0 ) < ϕ(x 0 ), alors ϕ ne prend aucune valeur dans l’intervalle
271