Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
et, puisque f −1 (]a n , b n [) = f −1 (]−∞ , b n [) ∩ f −1 (]a n , +∞[) est un ensemble
mesurable, il en est de même de f −1 (G).
II.2.6. L’ensemble A =
A ⊂ R : f −1 (A) ∈ M
, où M est la σ-algèbre de
tous les ensembles Lebesgue-mesurables de R, est une σ-algèbre. D’après le
résultat du problème précédent, les ensembles ouverts appartiennent à A et,
puisque la collection B des boréliens est la plus petite σ-algèbre contenant
tous les ensembles ouverts de R, B ⊂ A.
II.2.7. Soit f une fonction continue sur l’ensemble mesurable A et c un
nombre réel. On doit montrer que B = {x ∈ A : f (x) > c} est un sousensemble mesurable de A. Si B est vide, il est alors mesurable. Sinon, si
x ∈ B, par continuité, f (x) > c dans un voisinage de x, par exemple
]x − δ(x) , x + δ(x)[ ∩ A. En conséquence,
B =
x∈B
]x − δ(x) , x + δ(x)[ ∩ A
=
x∈B
]x − δ(x) , x + δ(x)[
∩ A.
Ceci montre que B, comme intersection d’un ensemble ouvert et de l’ensemble
mesurable A, est lui aussi mesurable.
II.2.8. On doit prouver que {x ∈ A : g(x) > c} est un sous-ensemble mesurable de A pour tout réel c. On pose pour cela B = {x ∈ A : f (x) = g(x)}.
Puisque
{x ∈ A : g(x) > c} = {x ∈ A \ B : g(x) > c} ∪ {x ∈ B : g(x) > c}
= {x ∈ A \ B : f (x) > c} ∪ {x ∈ B : g(x) > c}
= ({x ∈ A : f (x) > c} ∩ (A \ B)) ∪ {x ∈ B : g(x) > c} ,
on voit que l’ensemble {x ∈ A : g(x) > c} est mesurable.
II.2.9. Il s’agit d’une conséquence immédiate de II.2.7, II.1.55 et II.2.8.
II.2.10. On sait que toute fonction à variation bornée sur [a , b] est la différence de deux fonctions monotones et, d’après le résultat de I.1.21, elle est
Riemann-intégrable sur cet intervalle. Le résultat découle donc du problème
précédent.
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