Solutions
II.2. Fonctions mesurables au sens de Lebesgue
II.2.1. Si f est mesurable, les ensembles {x : f (x) > c} et {x : f (x) < −c}
sont alors mesurables pour tout réel c et il en est de même de
{x : |f (x)| > c} = {x : f (x) > c} ∪ {x : f (x) < −c} .
L’exemple suivant montre que l’implication réciproque est fausse. Soit A un
ensemble mesurable et V un sous-ensemble non mesurable de A. La fonction
f définie par
f (x) =
1
si x ∈ V,
−1 si x ∈ A \ V
est alors non mesurable bien que |f | le soit.
II.2.2. On prend pour f une fonction définie comme dans le problème précédent et g = −f .
II.2.3. Soit V un sous-ensemble non mesurable de [0 , 1]. On considère la
fonction f définie comme suit :
f (x) =
x
si x ∈ V,
−x si x ∈ [0 , 1] \ V.
Les ensembles f −1 (c) sont alors soit vides, soit réduits à un élément et sont
donc mesurables, alors que la fonction f n’est pas mesurable.
II.2.4. Étant donné un réel a, il existe une suite croissante {c n } d’éléments
de C telle que a = lim
n→+∞
c n . Donc,
{x ∈ A : f (x) a} =
+∞
n=1
{x ∈ A : f (x) c n }
est un ensemble mesurable.
II.2.5. On suppose d’abord que f −1 (G) est mesurable pour tout ouvert
G ⊂ R. Alors, en particulier, f −1 (]c , +∞[) est mesurable pour tout réel c.
D’autre part, chaque ensemble ouvert G est une union dénombrable d’intervalles ouverts
G =
+∞
n=1
]a n , b n [ , (a n , b n ∈ R, a n < b n )
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