Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
et I ∪ (I + x) est un intervalle dont la longueur est inférieure à
3
2 |I|. On montre
maintenant que (A∩I)∩((A∩I)+x) = ∅. En effet, si (A∩I)∩((A∩I)+x) = ∅,
alors
m((A ∩ I) ∪ ((A ∩ I) + x)) = 2m(A ∩ I)
3
2
|I| ,
contradiction. Si m(A) = +∞, d’après ce que l’on a prouvé, la proposition est
alors vérifiée pour A ∩ [−n , n] et, en conséquence, aussi pour A.
II.1.52. On sait que m ∗ (A n ) > 0. Si A n était mesurable, d’après le problème
précédent, il existerait δ > 0 tel que A n ∩(A n +x) = ∅ dès que |x| < δ. On choisit un tel x rationnel, différent de r i −r j , r i −r j +1, r i −r j −1, i, j ∈ {0, 1, . . . , n}
(voir la solution du problème II.1.45). Il existe y ∈ A n ∩ (A n + x), c’est à
dire, y = v k + r k (mod 1) = x + v i + r i (mod 1), où v k et v i appartiennent à
l’ensemble de Vitali V défini en II.1.45. Puisque v k − v i est irrationnel, il en
est de même de x, contradiction.
II.1.53. Supposons, contrairement à ce qui est annoncé, que m(A c ) > 0. Par
définition de la mesure de Lebesgue, étant donné α ∈ ]0 , 1[, il existe une suite
{I n } d’intervalles ouverts telle que A c ⊂
+∞
n=1
I n et
α
+∞
n=1
|I n | m(A
c ),
d’où
α
+∞
n=1
|I n | m
A
c
∩
+∞
n=1
I n
+∞
n=1
m(A
c
∩ I n ).
Il existe donc n 0 tel que α |I n 0 | m(A c ∩ I n 0 ). Ceci, combiné à la condition
donnée, implique
|I n 0 | = m(A ∩ I n 0 ) + m(A
c
∩ I n 0 ) (c + α) |I n 0 | .
(∗)
Puisque 0 < c 1, on peut choisir α ∈ ]0 , 1[ tel que c + α > 1, ce qui montre
que (∗) est impossible.
II.1.54. On définit les ensembles A 0 , A 1 et A 2 comme suit :
A 0 =
r + n
√
2 : r ∈ Q, n ∈ Z
,
A 1 =
r + 2n
√
2 : r ∈ Q, n ∈ Z
,
A 2 =
r + (2n + 1)
√
2 : r ∈ Q, n ∈ Z
.
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