Solutions
précédent, si B est mesurable, alors m(B) = 0. Enfin, si tous les B n sont mesurables, alors 0 = m
+∞
n=0
B n
= m ∗ (A) > 0, contradiction. Ceci signifie qu’au
moins un des B n n’est pas mesurable. Si maintenant A n’est pas inclus dans
[0 , 1[, il existe alors un intervalle [−k , k[ tel que A ∩ [−k , k[ soit de mesure extérieure strictement positive. On peut appliquer une analyse semblable à celle
utilisée dans la solution de II.1.45 pour construire un ensemble non mesurable
inclus dans [−k , k[ et on peut donc reproduire le raisonnement précédent.
II.1.49. On pose A n = V n , les V n étant définis dans la solution de II.1.45.
Puisque les A n ne sont pas mesurables, m ∗ (A n ) > 0 (comparez avec II.1.1).
De plus, tous les A n ont la même mesure extérieure. Donc,
1 = m ([0 , 1[) = m
∗
+∞
n=0
A n
<
+∞
n=0
m
∗ (A n ) = +∞.
II.1.50. On pose A n =
+∞
k=n
V k , les V k étant définis dans la solution
de II.1.45. Clairement, {A n } est une suite décroissante. Les ensembles V k
étant deux à deux disjoints, on voit que
+∞
n=0
A n = ∅. De plus,
m
∗ (A n ) m
∗ (V n ) = m
∗ (V) = a > 0.
Donc,
0 = m
∗
+∞
n=0
A n
< lim
n→+∞
m
∗ (A n ) a > 0.
II.1.51. On suppose d’abord que m(A) est finie. D’après la définition de la
mesure de Lebesgue, étant donné α ∈ ]0 , 1[, il existe une suite {I n } d’intervalles ouverts tels que A ⊂
+∞
n=1
I n et
α
+∞
n=1
|I n | m(A),
d’où
α
+∞
n=1
|I n | m
A ∩
+∞
n=1
I n
+∞
n=1
m(A ∩ I n ).
Il existe donc n 0 tel que α |I n 0 | m(A ∩ I n 0 ). En prenant α =
3
4 , on trouve un
intervalle ouvert tel que
3
4 |I| m(A ∩ I). On pose δ =
1
2 |I|. Si |x| < δ, alors
(A ∩ I) ∪ ((A ∩ I) + x) ⊂ I ∪ (I + x)
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