Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
x ∈ V k , ce qui prouve que [0 , 1[ ⊂
+∞
n=0
V n . L’inclusion opposée est évidente.
Il s’ensuit alors que
1 = m ([0 , 1[) =
+∞
n=0
m(V n ) =
+∞
n=0
m(V)
et le dernier membre de cette égalité est soit nul, soit infini, selon que m(V)
est nul ou strictement positif, ce qui induit une contradiction.
II.1.46. Soit {r n } une suite énumérant les rationnels de [0 , 1[ telle que
r 0 = 0. On pose A n = A + r n (mod 1). Chaque A n est alors mesurable et
m(A n ) = m(A). Puisque A ⊂ V, les ensembles A n sont deux à deux disjoints
(voir la solution du problème précédent). D’où
+∞
n=0
m(A) =
+∞
n=0
m(A n ) = m
+∞
n=0
A n
m ([0 , 1[) = 1,
ce qui donne m(A) = 0.
II.1.47. [M. Machover, Amer. Math. Monthly, 74(1967), 1080-1081]. On pose
A = [−2 , −1] et B = [2 , 3] et on appelle V l’ensemble de Vitali défini
en II.1.45. Le résultat précédent implique m ∗ (V) = 0. Puisque V n’est pas
mesurable, m ∗ (V) > 0. D’après II.1.6,
m
∗ (A ∪ V) = m(A) + m
∗ (V), m
∗ (B ∪ V) = m(B) + m
∗ (V),
m
∗ ((A ∪ V) ∪ (B ∪ V)) = m(A) + m(B) + m
∗ (V).
D’autre part, on a
m ∗ (A ∪ V) + m ∗ (B ∪ V) = m ∗ ((A ∪ V) ∪ (B ∪ V)).
Cette égalité se déduit du fait que si A est un ensemble mesurable et
m ∗ (V) = 0, alors m ∗ (A ∪ V) = m(A). En effet, si M est mesurable et
M ⊂ A∪V, alors M\A est un sous-ensemble mesurable de V et m(M\A) = 0.
Donc m(M) = m(M ∩ A) m(A), ce qui montre que m ∗ (A ∪ V) m(A).
II.1.48. Soit A un ensemble de mesure extérieure strictement positive. On
suppose d’abord que A ⊂ [0 , 1[ et on pose alors B n = A ∩ V n , où les V n sont
définis dans la solution de II.1.45. On note que si B n est mesurable, alors
m(B n ) = 0. En effet, B n = B + r n (mod 1), où B est un sous-ensemble de V.
D’après II.1.43, m ∗ (B n ) = m ∗ (B) et, d’après II.1.44, B n est mesurable si et
seulement si B est mesurable. D’autre part, d’après le résultat du problème
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x ∈ V k , ce qui prouve que [0 , 1[ ⊂
+∞
n=0
V n . L’inclusion opposée est évidente.
Il s’ensuit alors que
1 = m ([0 , 1[) =
+∞
n=0
m(V n ) =
+∞
n=0
m(V)
et le dernier membre de cette égalité est soit nul, soit infini, selon que m(V)
est nul ou strictement positif, ce qui induit une contradiction.
II.1.46. Soit {r n } une suite énumérant les rationnels de [0 , 1[ telle que
r 0 = 0. On pose A n = A + r n (mod 1). Chaque A n est alors mesurable et
m(A n ) = m(A). Puisque A ⊂ V, les ensembles A n sont deux à deux disjoints
(voir la solution du problème précédent). D’où
+∞
n=0
m(A) =
+∞
n=0
m(A n ) = m
+∞
n=0
A n
m ([0 , 1[) = 1,
ce qui donne m(A) = 0.
II.1.47. [M. Machover, Amer. Math. Monthly, 74(1967), 1080-1081]. On pose
A = [−2 , −1] et B = [2 , 3] et on appelle V l’ensemble de Vitali défini
en II.1.45. Le résultat précédent implique m ∗ (V) = 0. Puisque V n’est pas
mesurable, m ∗ (V) > 0. D’après II.1.6,
m
∗ (A ∪ V) = m(A) + m
∗ (V), m
∗ (B ∪ V) = m(B) + m
∗ (V),
m
∗ ((A ∪ V) ∪ (B ∪ V)) = m(A) + m(B) + m
∗ (V).
D’autre part, on a
m ∗ (A ∪ V) + m ∗ (B ∪ V) = m ∗ ((A ∪ V) ∪ (B ∪ V)).
Cette égalité se déduit du fait que si A est un ensemble mesurable et
m ∗ (V) = 0, alors m ∗ (A ∪ V) = m(A). En effet, si M est mesurable et
M ⊂ A∪V, alors M\A est un sous-ensemble mesurable de V et m(M\A) = 0.
Donc m(M) = m(M ∩ A) m(A), ce qui montre que m ∗ (A ∪ V) m(A).
II.1.48. Soit A un ensemble de mesure extérieure strictement positive. On
suppose d’abord que A ⊂ [0 , 1[ et on pose alors B n = A ∩ V n , où les V n sont
définis dans la solution de II.1.45. On note que si B n est mesurable, alors
m(B n ) = 0. En effet, B n = B + r n (mod 1), où B est un sous-ensemble de V.
D’après II.1.43, m ∗ (B n ) = m ∗ (B) et, d’après II.1.44, B n est mesurable si et
seulement si B est mesurable. D’autre part, d’après le résultat du problème
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