Solutions
On a A 2 = A 1 +
√
2 et A 0 = A 1 ∪ A 2 . On définit une relation d’équivalence
sur R en posant x ∼ y si et seulement si x − y ∈ A 0 . D’après l’axiome de
choix, il existe un ensemble B contenant exactement un élément de chaque
classe d’équivalence de la relation ∼. On pose
A = B + A 1 = {b + a 1 : b ∈ B, a 1 ∈ A 1 } .
Soit C un sous-ensemble mesurable de A, on suppose que m(C) > 0. D’après
le résultat de II.1.51, il existe δ > 0 tel que C ∩ (C + x) ne soit pas vide dès
que |x| < δ. Ceci implique que A ∩ (A + x) n’est pas vide dès que |x| < δ.
Puisque A 2 est dense dans R, il existe un x ∈ A 2 tel que |x| < δ. Puisque
A ∩ (A + x) n’est pas vide, il existe y = x + b 1 + a 1 = b 2 + a
1 pour certains
b 1 , b 2 ∈ B et a 1 , a
1 ∈ A 1 . D’où, b 2 − b 1 ∈ A 0 et donc b 2 = b 1 . En conséquence,
x = a
1 − a 1 ne peut pas être un élément de A 2 , contradiction. Ceci prouve que
chaque sous-ensemble mesurable de A est de mesure de Lebesgue nulle. On
vérifie facilement que A c = B + A 2 . Donc, A c = A +
√
2, d’où il découle que
chaque sous-ensemble mesurable de A c est de la forme C +
√
2, où C est un
sous-ensemble Lebesgue-mesurable de A. Il s’ensuit que chaque sous-ensemble
mesurable de A c est de mesure de Lebesgue nulle.
On remarquera ici que A et A c sont des ensembles non mesurables.
II.1.55. On suppose que f est Riemann-intégrable sur [a , b] et, pour ε > 0,
on pose J ε = {x : o f (x) ε}, où o f (x) représente l’oscillation de f en x (voir,
par exemple, I.7.12 (vol. II)). On déduit du résultat de I.7.18 que |J ε | = 0
pour tout ε > 0, où |J ε | = 0 est la mesure de Jordan de J ε . Si x est un point
de discontinuité de f , alors o f (x) = 0 (voir, par exemple, I.7.12 (vol. II)).
Ceci implique qu’il existe un entier strictement positif n tel que o f (x)
1
n . En
conséquence, l’ensemble D des points de discontinuité de f vérifie
D ⊂
+∞
n=1
J 1/n .
Puisque
J 1/n
∗ = 0, on a aussi m ∗ (J 1/n ) = 0 et m ∗ (D) = m(D) = 0. Pour
prouver que la condition est suffisante, on suppose que m ∗ (D) = m(D) = 0.
D’après le résultat de I.7.18, il suffit de montrer que |J ε | = 0 pour tout ε > 0.
Puisque J ε ⊂ D, on a m ∗ (J ε ) = 0. Donc, étant donné δ > 0, il existe un recouvrement de J ε par des intervalles ouverts {I n } tels que
+∞
n=1
|I n | < δ. Puisque
J ε est un ensemble compact (voir, par exemple, I.7.13 (vol. II)), d’après
267
On a A 2 = A 1 +
√
2 et A 0 = A 1 ∪ A 2 . On définit une relation d’équivalence
sur R en posant x ∼ y si et seulement si x − y ∈ A 0 . D’après l’axiome de
choix, il existe un ensemble B contenant exactement un élément de chaque
classe d’équivalence de la relation ∼. On pose
A = B + A 1 = {b + a 1 : b ∈ B, a 1 ∈ A 1 } .
Soit C un sous-ensemble mesurable de A, on suppose que m(C) > 0. D’après
le résultat de II.1.51, il existe δ > 0 tel que C ∩ (C + x) ne soit pas vide dès
que |x| < δ. Ceci implique que A ∩ (A + x) n’est pas vide dès que |x| < δ.
Puisque A 2 est dense dans R, il existe un x ∈ A 2 tel que |x| < δ. Puisque
A ∩ (A + x) n’est pas vide, il existe y = x + b 1 + a 1 = b 2 + a
1 pour certains
b 1 , b 2 ∈ B et a 1 , a
1 ∈ A 1 . D’où, b 2 − b 1 ∈ A 0 et donc b 2 = b 1 . En conséquence,
x = a
1 − a 1 ne peut pas être un élément de A 2 , contradiction. Ceci prouve que
chaque sous-ensemble mesurable de A est de mesure de Lebesgue nulle. On
vérifie facilement que A c = B + A 2 . Donc, A c = A +
√
2, d’où il découle que
chaque sous-ensemble mesurable de A c est de la forme C +
√
2, où C est un
sous-ensemble Lebesgue-mesurable de A. Il s’ensuit que chaque sous-ensemble
mesurable de A c est de mesure de Lebesgue nulle.
On remarquera ici que A et A c sont des ensembles non mesurables.
II.1.55. On suppose que f est Riemann-intégrable sur [a , b] et, pour ε > 0,
on pose J ε = {x : o f (x) ε}, où o f (x) représente l’oscillation de f en x (voir,
par exemple, I.7.12 (vol. II)). On déduit du résultat de I.7.18 que |J ε | = 0
pour tout ε > 0, où |J ε | = 0 est la mesure de Jordan de J ε . Si x est un point
de discontinuité de f , alors o f (x) = 0 (voir, par exemple, I.7.12 (vol. II)).
Ceci implique qu’il existe un entier strictement positif n tel que o f (x)
1
n . En
conséquence, l’ensemble D des points de discontinuité de f vérifie
D ⊂
+∞
n=1
J 1/n .
Puisque
J 1/n
∗ = 0, on a aussi m ∗ (J 1/n ) = 0 et m ∗ (D) = m(D) = 0. Pour
prouver que la condition est suffisante, on suppose que m ∗ (D) = m(D) = 0.
D’après le résultat de I.7.18, il suffit de montrer que |J ε | = 0 pour tout ε > 0.
Puisque J ε ⊂ D, on a m ∗ (J ε ) = 0. Donc, étant donné δ > 0, il existe un recouvrement de J ε par des intervalles ouverts {I n } tels que
+∞
n=1
|I n | < δ. Puisque
J ε est un ensemble compact (voir, par exemple, I.7.13 (vol. II)), d’après
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