Solutions
il existe alors un entier strictement positif m tel que x ∈
1
m ,
1
m−1
. Il existe
donc N ∈ N ∗ tel que x k ∈
1
m+1 ,
1
m−1
si k N , d’où x k ∈ B m ∪ B m−1 , ce
qui donne x ∈ B m ∪ B m−1 . Un raisonnement semblable s’applique si x < 0.
Le cas x = 0 est évident. Maintenant, si δ > 0, il existe alors un entier N > 0
tel que
1
N < δ. On a alors, par construction de B,
B ∩ ]−δ , δ[ ⊃ B ∩
−
1
N
,
1
N
=
+∞
n=N
B n ∪ {0}.
Donc,
m (B ∩ ]−δ , δ[) m
+∞
n=N
B n
=
+∞
n=N
m(B n )
1
2
m
A ∩
−
1
N
,
1
N
> 0.
II.1.40. On a
lim
h→0 +
m
A ∩ [x − h , x + h]
2h
=
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1 si x ∈ ]−1 , 1[,
1
2
si x ∈ {−1, 1},
0 sinon.
II.1.41. On suppose d’abord que x 0 = 0. Pour n ∈ N ∗ , on pose
P n =
−
1
n
, −
1
n + 1
∪
1
n + 1
,
1
n
et on choisit un ensemble mesurable A n ⊂ P n tel que m(A n ) = αm(P n ).
En posant A =
+∞
n=1
A n , on voit que A a pour densité α en 0. Pour cela, on
remarque que si
1
n+1 h <
1
n , alors
m (A ∩ [−h , h])
2h
m
A ∩
−
1
n ,
1
n
2
n+1
=
2α
n
2
n+1
= α
1 +
1
n
α(1 + 2h).
261