Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
D’autre part,
m (A ∩ [−h , h])
2h
m
A ∩
−
1
n+1 ,
1
n+1
2
n
=
2α
n+1
2
n
= α
1 −
1
n + 1
α(1 − h).
La mesure de Lebesgue étant invariante par translation, si x 0 = 0, l’ensemble
A + x 0 a la propriété requise.
II.1.42. On définit, pour n entier strictement positif,
A n = A ∩
−
1
n
, −
1
n + 1
∪
1
n + 1
,
1
n
et on choisit un ensemble parfait B n ⊂ A n tel que m(B n )
1 −
1
n
m(A n ).
On va prouver que
B =
+∞
n=1
B n ∪ {0}
a la propriété voulue. L’ensemble B est parfait (voir la solution de II.1.39).
Pour h > 0, on note N la partie entière de
1
h . On a alors, par construction
de B,
m (B ∩ [−h , h])
2h
m
B ∩
−
1
N +1 ,
1
N +1
2
N
=
N
2
+∞
n=N +1
m(B n )
N
2
+∞
n=N +1
m(A n ) −
1
N
+∞
n=N +1
m(A n )
=
N
2
m
A ∩
−
1
N + 1
,
1
N + 1
1 −
1
N
=
m
A ∩
−
1
N +1 ,
1
N +1
2
N
×
N − 1
N
.
II.1.43. On note T a (A) le translaté de A, autrement dit,
T a (A) = A + a = {x + a : x ∈ A}.
On a alors
A + a (mod1) = T a (A ∩ [0 , 1 − a[) ∪ T a−1 (A ∩ [1 − a , 1[) .
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