Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
en I.7.12 et II.1.22). Si A =
+∞
n=1
A n , alors 1 −
1
n m(A n ) m(A) 1 et
m(A) = 1.
II.1.37. Non. Si A était un tel ensemble, [0 , 1] \ A serait alors un ensemble
ouvert de mesure de Lebesgue nulle, donc vide.
II.1.38. Soit {U n } une suite de tous les intervalles ouverts à extrémités rationnelles. Notons A 1 un sous-ensemble nulle part dense de U 1 de mesure de
Lebesgue strictement positive (voir, par exemple, I.7.12 pour la construction
d’un tel ensemble). Puisque A 1 est nulle part dense, il existe un intervalle
]a , b[ ⊂ U 1 disjoint de A 1 . On peut donc trouver un ensemble nulle part
dense A 2 ⊂ ]a , b[ de mesure strictement positive. Nous avons donc deux ensembles disjoints et nulle part denses A 1 et A 2 tels que A 1 ∪ A 2 ⊂ U 1 .
Puisque A 1 ∪ A 2 est un ensemble nulle part dense, il existe ]c , d[ ⊂ U 2 disjoint de A 1 ∪ A 2 . On prend alors un ensemble nulle part dense A 3 ⊂ ]c , d[
de mesure strictement positive, un intervalle ouvert ]e , f[ ⊂ ]c , d[ disjoint
de A 3 et un ensemble nulle part dense A 4 ⊂ ]e , f[ de mesure strictement
positive. En poursuivant le procédé, on obtient une suite {A n } d’ensembles
nulle part denses et deux à deux disjoints tels que A 2n ∪ A 2n−1 ⊂ U n et
m(A n ) > 0. Posons A =
+∞
n=1
A 2n . On montre alors que l’ensemble A a la
propriété requise. En effet, étant donné un intervalle ]α , β[, il existe un ensemble U k ⊂ ]α , β[, d’où m(A ∩ ]α , β[) m(A 2k ) > 0. Il est aussi clair que
m
(R \ A) ∩ ]α , β[
m(A 2k−1 ) > 0.
II.1.39. On définit, pour tout entier n ∈ N ∗ ,
A n = A ∩
−
1
n
, −
1
n + 1
∪
1
n + 1
,
1
n
.
Si m(A n ) > 0, d’après le résultat de II.1.31, il existe alors un ensemble parfait
B n ⊂ A n tel que m(B n )
1
2 m(A n ). Si m(A n ) = 0, on pose B n = ∅. On va
prouver que l’ensemble
B =
+∞
n=1
B n ∪ {0}
a la propriété requise. On observe d’abord que B est un ensemble parfait. Il
est clair que tout point de B est un point d’accumulation de B. Pour prouver
que B est un ensemble fermé, on pose x = lim
k→+∞
x k où x k ∈ B. Si x > 0,
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en I.7.12 et II.1.22). Si A =
+∞
n=1
A n , alors 1 −
1
n m(A n ) m(A) 1 et
m(A) = 1.
II.1.37. Non. Si A était un tel ensemble, [0 , 1] \ A serait alors un ensemble
ouvert de mesure de Lebesgue nulle, donc vide.
II.1.38. Soit {U n } une suite de tous les intervalles ouverts à extrémités rationnelles. Notons A 1 un sous-ensemble nulle part dense de U 1 de mesure de
Lebesgue strictement positive (voir, par exemple, I.7.12 pour la construction
d’un tel ensemble). Puisque A 1 est nulle part dense, il existe un intervalle
]a , b[ ⊂ U 1 disjoint de A 1 . On peut donc trouver un ensemble nulle part
dense A 2 ⊂ ]a , b[ de mesure strictement positive. Nous avons donc deux ensembles disjoints et nulle part denses A 1 et A 2 tels que A 1 ∪ A 2 ⊂ U 1 .
Puisque A 1 ∪ A 2 est un ensemble nulle part dense, il existe ]c , d[ ⊂ U 2 disjoint de A 1 ∪ A 2 . On prend alors un ensemble nulle part dense A 3 ⊂ ]c , d[
de mesure strictement positive, un intervalle ouvert ]e , f[ ⊂ ]c , d[ disjoint
de A 3 et un ensemble nulle part dense A 4 ⊂ ]e , f[ de mesure strictement
positive. En poursuivant le procédé, on obtient une suite {A n } d’ensembles
nulle part denses et deux à deux disjoints tels que A 2n ∪ A 2n−1 ⊂ U n et
m(A n ) > 0. Posons A =
+∞
n=1
A 2n . On montre alors que l’ensemble A a la
propriété requise. En effet, étant donné un intervalle ]α , β[, il existe un ensemble U k ⊂ ]α , β[, d’où m(A ∩ ]α , β[) m(A 2k ) > 0. Il est aussi clair que
m
(R \ A) ∩ ]α , β[
m(A 2k−1 ) > 0.
II.1.39. On définit, pour tout entier n ∈ N ∗ ,
A n = A ∩
−
1
n
, −
1
n + 1
∪
1
n + 1
,
1
n
.
Si m(A n ) > 0, d’après le résultat de II.1.31, il existe alors un ensemble parfait
B n ⊂ A n tel que m(B n )
1
2 m(A n ). Si m(A n ) = 0, on pose B n = ∅. On va
prouver que l’ensemble
B =
+∞
n=1
B n ∪ {0}
a la propriété requise. On observe d’abord que B est un ensemble parfait. Il
est clair que tout point de B est un point d’accumulation de B. Pour prouver
que B est un ensemble fermé, on pose x = lim
k→+∞
x k où x k ∈ B. Si x > 0,
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