Solutions
et x 1 et des sous-intervalles fermés J 0 ⊂ I 0 et J 1 ⊂ I 1 , tous deux de longueur
respective strictement inférieure à 1 et tels que J 0 ⊂ G 1 , J 1 ⊂ G 1 . On choisit à
la deuxième étape des intervalles ouverts disjoints I 00 , I 01 ⊂ J 0 et I 10 , I 11 ⊂ J 1
et des sous-intervalles fermés J 00 , J 01 , J 10 , J 11 , tous de longueur respective
strictement inférieure à
1
2 et tels que
J 00 , J 01 ⊂ G 2 ∩ J 0 , J 10 , J 11 ⊂ G 2 ∩ J 1 .
On remarquera que la construction ci-dessus est possible puisque x 0 et x 1
sont des points d’accumulation de P. En poursuivant le procédé, on obtient
à la n-ième étape 2 n intervalles fermés deux à deux disjoints J i 1 i 2 ...in , où i k
prend les valeurs 0 ou 1, tous de longueur strictement inférieure à
1
n et tels
que J i 1 i 2 ...in ⊂ G n ∩ J i 1 i 2 ...i n−1 . D’après le théorème des ensembles emboîtés
de Cantor, il existe un unique point x i 1 i 2 ... dans l’intersection des intervalles
fermés J i 1 , J i 1 i 2 , J i 1 i 2 i 3 , . . . Il découle aussi de ce qui précède que des suites
{i n } et {i
n } de 0 et de 1 distinctes gênèrent des points x i 1 i 2 ... et x i 1 i 2 ... distincts. Puisque l’ensemble des suites de 0 et de 1 a la puissance du continu,
l’ensemble de tous les points x i 1 i 2 ... a aussi la puissance du continu et puisque
tous les x i 1 i 2 ... sont dans P, l’ensemble P a la puissance du continu.
II.1.33. Pour prouver que A est nulle part dense, on va montrer que tout
intervalle contient un sous-intervalle disjoint de A. Soit I ⊂ R un intervalle.
Puisque m(A) = 0, I ne peut pas être un sous-ensemble de A. Donc I∩A c = ∅.
Puisque que A c est ouvert, il existe un intervalle J ⊂ I ∩ A c , ce qui prouve
que A est nulle part dense.
II.1.34. Non. Pour s’en rendre compte, on considère l’ensemble A défini
en I.7.12. C’est un sous-ensemble nulle part dense de [0 , 1] de mesure strictement positive. Soit B l’ensemble formé des extrémités des intervalles enlevés de [0 , 1] dans la construction de A, B est alors un ensemble nulle part
dense dénombrable. En conséquence, m(B) = 0 et B = A, ce qui montre que
m(B) > 0.
II.1.35. Puisque m(A) > 0, cet ensemble a la puissance du continu
(voir II.1.32). Soit x 0 ∈ A. L’ensemble des réels |x 0 − x| (x ∈ A) a la puissance du continu et tous ses éléments ne sont donc pas rationnels.
II.1.36. Oui. Soit A n un sous-ensemble nulle part dense et parfait de [0 , 1],
de mesure de Lebesgue égale à 1−
1
n (on a construit et étudié de tels ensembles
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et x 1 et des sous-intervalles fermés J 0 ⊂ I 0 et J 1 ⊂ I 1 , tous deux de longueur
respective strictement inférieure à 1 et tels que J 0 ⊂ G 1 , J 1 ⊂ G 1 . On choisit à
la deuxième étape des intervalles ouverts disjoints I 00 , I 01 ⊂ J 0 et I 10 , I 11 ⊂ J 1
et des sous-intervalles fermés J 00 , J 01 , J 10 , J 11 , tous de longueur respective
strictement inférieure à
1
2 et tels que
J 00 , J 01 ⊂ G 2 ∩ J 0 , J 10 , J 11 ⊂ G 2 ∩ J 1 .
On remarquera que la construction ci-dessus est possible puisque x 0 et x 1
sont des points d’accumulation de P. En poursuivant le procédé, on obtient
à la n-ième étape 2 n intervalles fermés deux à deux disjoints J i 1 i 2 ...in , où i k
prend les valeurs 0 ou 1, tous de longueur strictement inférieure à
1
n et tels
que J i 1 i 2 ...in ⊂ G n ∩ J i 1 i 2 ...i n−1 . D’après le théorème des ensembles emboîtés
de Cantor, il existe un unique point x i 1 i 2 ... dans l’intersection des intervalles
fermés J i 1 , J i 1 i 2 , J i 1 i 2 i 3 , . . . Il découle aussi de ce qui précède que des suites
{i n } et {i
n } de 0 et de 1 distinctes gênèrent des points x i 1 i 2 ... et x i 1 i 2 ... distincts. Puisque l’ensemble des suites de 0 et de 1 a la puissance du continu,
l’ensemble de tous les points x i 1 i 2 ... a aussi la puissance du continu et puisque
tous les x i 1 i 2 ... sont dans P, l’ensemble P a la puissance du continu.
II.1.33. Pour prouver que A est nulle part dense, on va montrer que tout
intervalle contient un sous-intervalle disjoint de A. Soit I ⊂ R un intervalle.
Puisque m(A) = 0, I ne peut pas être un sous-ensemble de A. Donc I∩A c = ∅.
Puisque que A c est ouvert, il existe un intervalle J ⊂ I ∩ A c , ce qui prouve
que A est nulle part dense.
II.1.34. Non. Pour s’en rendre compte, on considère l’ensemble A défini
en I.7.12. C’est un sous-ensemble nulle part dense de [0 , 1] de mesure strictement positive. Soit B l’ensemble formé des extrémités des intervalles enlevés de [0 , 1] dans la construction de A, B est alors un ensemble nulle part
dense dénombrable. En conséquence, m(B) = 0 et B = A, ce qui montre que
m(B) > 0.
II.1.35. Puisque m(A) > 0, cet ensemble a la puissance du continu
(voir II.1.32). Soit x 0 ∈ A. L’ensemble des réels |x 0 − x| (x ∈ A) a la puissance du continu et tous ses éléments ne sont donc pas rationnels.
II.1.36. Oui. Soit A n un sous-ensemble nulle part dense et parfait de [0 , 1],
de mesure de Lebesgue égale à 1−
1
n (on a construit et étudié de tels ensembles
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