Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.1.30. Si A est un ensemble borné, le résultat est contenu dans le problème
précédent. Si A n’est pas borné, on pose A n = A ∩ [−n , n] (n ∈ N ∗ ) et on
obtient m(A) = lim
n→+∞
m(A n ) (voir II.1.18). Donc, pour q < m(A), il existe
N tel que m(A N ) > q et on peut appliquer le résultat du problème précédent.
II.1.31. Nous allons utiliser dans la démonstration le théorème de CantorBendixson qui affirme que tout ensemble fermé A ⊂ R est l’union d’un ensemble parfait P et d’un ensemble dénombrable C. Pour démontrer le théorème
de Cantor-Bendixson, on définit
P = {x ∈ R : x est un point de condensation de A} .
On se souvient que x est un point de condensation de A si tout voisinage
de x contient une infinité non dénombrable de points de A. Il est clair que
chaque point de condensation de A est un point d’accumulation de A. Donc,
P ⊂ A et A = P ∪ (A \ P). Si x ∈ A \ P, il existe alors un intervalle ouvert
U à extrémités rationnelles contenant x tel que A ∩ U soit dénombrable. En
conséquence, C = A \ P est un ensemble dénombrable. On montre maintenant
que P est parfait, autrement dit, que cet ensemble est égal à l’ensemble de ses
points d’accumulation. Soit x ∈ P et soit U un voisinage de x. Alors U ∩ A est
non dénombrable et U ∩ C est dénombrable. Donc U ∩ P = (U ∩ A) ∩ (U ∩ C) c
n’est pas dénombrable et x est un point d’accumulation de P. Pour voir que
P est fermé, on prend z ∈ P c . Alors z admet un voisinage V tel que V ∩ A
soit dénombrable. S’il existe y ∈ V ∩ P, alors V ∩ A serait non dénombrable.
Contradiction. Ceci montre que P c est un ensemble ouvert.
On se tourne maintenant vers la démonstration de notre énoncé. On déduit du problème précédent qu’il existe un ensemble mesurable B ⊂ A tel que
m(B) = q < q < m(A). De plus, d’après II.1.12(iv), il existe un ensemble
fermé F ⊂ B tel que m(B \ F) = q − q . Donc, m(F) = q et le résultat cherché
découle du théorème de Cantor-Bendixson.
II.1.32. Le résultat découlera du problème précédent si on prouve que
tout ensemble parfait non vide a la puissance du continu. Soit P un
tel ensemble, c’est-à-dire un ensemble fermé sans point isolé. Si on pose
G n =
x ∈ R : dist(x, P) <
1
n
, n ∈ N ∗ , alors
P =
+∞
n=1
G n .
P contient au moins deux points que l’on note x 0 et x 1 . On choisit à la première
étape deux intervalles ouverts disjoints I 0 et I 1 contenant respectivement x 0
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II.1.30. Si A est un ensemble borné, le résultat est contenu dans le problème
précédent. Si A n’est pas borné, on pose A n = A ∩ [−n , n] (n ∈ N ∗ ) et on
obtient m(A) = lim
n→+∞
m(A n ) (voir II.1.18). Donc, pour q < m(A), il existe
N tel que m(A N ) > q et on peut appliquer le résultat du problème précédent.
II.1.31. Nous allons utiliser dans la démonstration le théorème de CantorBendixson qui affirme que tout ensemble fermé A ⊂ R est l’union d’un ensemble parfait P et d’un ensemble dénombrable C. Pour démontrer le théorème
de Cantor-Bendixson, on définit
P = {x ∈ R : x est un point de condensation de A} .
On se souvient que x est un point de condensation de A si tout voisinage
de x contient une infinité non dénombrable de points de A. Il est clair que
chaque point de condensation de A est un point d’accumulation de A. Donc,
P ⊂ A et A = P ∪ (A \ P). Si x ∈ A \ P, il existe alors un intervalle ouvert
U à extrémités rationnelles contenant x tel que A ∩ U soit dénombrable. En
conséquence, C = A \ P est un ensemble dénombrable. On montre maintenant
que P est parfait, autrement dit, que cet ensemble est égal à l’ensemble de ses
points d’accumulation. Soit x ∈ P et soit U un voisinage de x. Alors U ∩ A est
non dénombrable et U ∩ C est dénombrable. Donc U ∩ P = (U ∩ A) ∩ (U ∩ C) c
n’est pas dénombrable et x est un point d’accumulation de P. Pour voir que
P est fermé, on prend z ∈ P c . Alors z admet un voisinage V tel que V ∩ A
soit dénombrable. S’il existe y ∈ V ∩ P, alors V ∩ A serait non dénombrable.
Contradiction. Ceci montre que P c est un ensemble ouvert.
On se tourne maintenant vers la démonstration de notre énoncé. On déduit du problème précédent qu’il existe un ensemble mesurable B ⊂ A tel que
m(B) = q < q < m(A). De plus, d’après II.1.12(iv), il existe un ensemble
fermé F ⊂ B tel que m(B \ F) = q − q . Donc, m(F) = q et le résultat cherché
découle du théorème de Cantor-Bendixson.
II.1.32. Le résultat découlera du problème précédent si on prouve que
tout ensemble parfait non vide a la puissance du continu. Soit P un
tel ensemble, c’est-à-dire un ensemble fermé sans point isolé. Si on pose
G n =
x ∈ R : dist(x, P) <
1
n
, n ∈ N ∗ , alors
P =
+∞
n=1
G n .
P contient au moins deux points que l’on note x 0 et x 1 . On choisit à la première
étape deux intervalles ouverts disjoints I 0 et I 1 contenant respectivement x 0
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