Solutions
II.1.26. On note A i l’ensemble des points de [0 , 1] admettant des développements décimaux contenant le chiffre i, i ∈ {1, 2, . . . , 9}. L’ensemble A des
points de [0 , 1] admettant des développements décimaux contenant tous les
chiffres 1, 2, . . . , 9 est alors l’intersection
9
i=1
A i . D’après le résultat de II.1.23,
m
[0, 1] \ A i
= 0 et on obtient donc m
[0, 1] \
9
i=1
A i
= 0, d’où m(A) = 1.
II.1.27. Soit A l’ensemble considéré. A est contenu dans chacun des ensembles A n définis comme suit. On divise l’intervalle [0 , 1] en mille intervalles
de même longueur, on enlève l’intervalle ]0,222 ; 0,223[ et on note A 1 la réunion
des 999 intervalles fermés restants. On divise alors chacun des intervalles restants en mille intervalles de même longueur et on enlève les intervalles de la
forme ]0, d 1 d 2 d 3 222 ; 0, d 1 d 2 d 3 223[. On obtient de cette façon l’ensemble A 2
comme union des 999 2 intervalles fermés restants. En poursuivant le procédé,
on obtient une suite d’ensembles {A n }, où A n est l’union de 999 n intervalles
fermés, chacun de longueur 10 −3n et
A =
+∞
n=1
A n .
Puisque {A n } est une suite décroissante, d’après II.1.17, on a
m(A) = lim
n→+∞
m(A n ) = lim
n→+∞
999
1000
n
= 0.
II.1.28. On a
A =
−
1
20
,
1
9
+
1
20
∪
2
9
−
1
20
,
1
3
+
1
20
∪
2
3
−
1
20
,
7
9
+
1
20
∪
8
9
−
1
20
, 1 +
1
20
et m(A) =
38
45
.
II.1.29. Soit A ⊂ [a , b]. La fonction f (x) = m
[a , x] ∩ A
est croissante,
continue et f (a) = 0, f (b) = p. Le résultat se déduit donc de la propriété des
valeurs intermédiaires.
257
II.1.26. On note A i l’ensemble des points de [0 , 1] admettant des développements décimaux contenant le chiffre i, i ∈ {1, 2, . . . , 9}. L’ensemble A des
points de [0 , 1] admettant des développements décimaux contenant tous les
chiffres 1, 2, . . . , 9 est alors l’intersection
9
i=1
A i . D’après le résultat de II.1.23,
m
[0, 1] \ A i
= 0 et on obtient donc m
[0, 1] \
9
i=1
A i
= 0, d’où m(A) = 1.
II.1.27. Soit A l’ensemble considéré. A est contenu dans chacun des ensembles A n définis comme suit. On divise l’intervalle [0 , 1] en mille intervalles
de même longueur, on enlève l’intervalle ]0,222 ; 0,223[ et on note A 1 la réunion
des 999 intervalles fermés restants. On divise alors chacun des intervalles restants en mille intervalles de même longueur et on enlève les intervalles de la
forme ]0, d 1 d 2 d 3 222 ; 0, d 1 d 2 d 3 223[. On obtient de cette façon l’ensemble A 2
comme union des 999 2 intervalles fermés restants. En poursuivant le procédé,
on obtient une suite d’ensembles {A n }, où A n est l’union de 999 n intervalles
fermés, chacun de longueur 10 −3n et
A =
+∞
n=1
A n .
Puisque {A n } est une suite décroissante, d’après II.1.17, on a
m(A) = lim
n→+∞
m(A n ) = lim
n→+∞
999
1000
n
= 0.
II.1.28. On a
A =
−
1
20
,
1
9
+
1
20
∪
2
9
−
1
20
,
1
3
+
1
20
∪
2
3
−
1
20
,
7
9
+
1
20
∪
8
9
−
1
20
, 1 +
1
20
et m(A) =
38
45
.
II.1.29. Soit A ⊂ [a , b]. La fonction f (x) = m
[a , x] ∩ A
est croissante,
continue et f (a) = 0, f (b) = p. Le résultat se déduit donc de la propriété des
valeurs intermédiaires.
257