Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
]0,87 ; 0,88[, ]0,97 ; 0,98[. En poursuivant cette procédure, on retire à la nième étape 9 n−1 intervalles ouverts de longueur
1
10 n . On remarque que si ]a i , b i [
(i ∈ N ∗ ) est la suite d’intervalles enlevés, alors
A = [0 , 1] \
+∞
i=1
]a i , b i [.
Donc,
m
[0 , 1] \ A
=
1
10
+ 9
1
10 2 + 9
2 1
10 3 + · · · + 9
n−1 1
10 n + · · · = 1
et m(A) = 0. On remarquera que l’ensemble A est parfait et nulle part dense.
II.1.24. On a
B =
n∈Z
B ∩ [n , n + 1]
et l’ensemble B∩[n , n+1] est obtenu par translation de l’ensemble A défini au
problème précédent, autrement dit, B ∩ [n , n + 1] = A + n = {x + n : x ∈ A}.
Puisque la mesure de Lebesgue est invariante par translation, on déduit du
résultat du problème précédent que m(B) = 0.
II.1.25. On divise l’intervalle [0 , 1] en quatre intervalles de même longueur,
on enlève les deux intervalles ouverts
1
4 ,
1
2
et
3
4 , 1
et on note A 1 la réunion
des deux intervalles fermés restants. Clairement, l’ensemble A 1 contient tous
les éléments de [0 , 1] dont le développement binaire admet un 0 comme second chiffre après la virgule. À la seconde étape, on divise chacun des deux
intervalles fermés restants en quatre intervalles de même longueur, on enlève
les quatre intervalles
1
4 2 ,
2
4 2
,
3
4 2 ,
4
4 2
,
9
4 2 ,
10
4 2
,
11
4 2 ,
12
4 2
et on note A 2 la
réunion des quatre intervalles fermés restants. L’ensemble A 2 contient donc
tous les éléments de [0 , 1] dont le développement binaire admet un 0 en seconde et quatrième position après la virgule. En poursuivant le procédé, on
obtient à la n-ième étape l’ensemble A n formé de 2 n intervalles fermés, chacun
de longueur 4 −n . Il est évident que
A 1 ⊃ A 2 ⊃ · · · ⊃ A n ⊃ · · ·
et
A =
+∞
n=1
A n .
Puisque m(A n ) = 2 n × 4 −n = 2 −n , l’ensemble A est de mesure de Lebesgue
nulle.
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]0,87 ; 0,88[, ]0,97 ; 0,98[. En poursuivant cette procédure, on retire à la nième étape 9 n−1 intervalles ouverts de longueur
1
10 n . On remarque que si ]a i , b i [
(i ∈ N ∗ ) est la suite d’intervalles enlevés, alors
A = [0 , 1] \
+∞
i=1
]a i , b i [.
Donc,
m
[0 , 1] \ A
=
1
10
+ 9
1
10 2 + 9
2 1
10 3 + · · · + 9
n−1 1
10 n + · · · = 1
et m(A) = 0. On remarquera que l’ensemble A est parfait et nulle part dense.
II.1.24. On a
B =
n∈Z
B ∩ [n , n + 1]
et l’ensemble B∩[n , n+1] est obtenu par translation de l’ensemble A défini au
problème précédent, autrement dit, B ∩ [n , n + 1] = A + n = {x + n : x ∈ A}.
Puisque la mesure de Lebesgue est invariante par translation, on déduit du
résultat du problème précédent que m(B) = 0.
II.1.25. On divise l’intervalle [0 , 1] en quatre intervalles de même longueur,
on enlève les deux intervalles ouverts
1
4 ,
1
2
et
3
4 , 1
et on note A 1 la réunion
des deux intervalles fermés restants. Clairement, l’ensemble A 1 contient tous
les éléments de [0 , 1] dont le développement binaire admet un 0 comme second chiffre après la virgule. À la seconde étape, on divise chacun des deux
intervalles fermés restants en quatre intervalles de même longueur, on enlève
les quatre intervalles
1
4 2 ,
2
4 2
,
3
4 2 ,
4
4 2
,
9
4 2 ,
10
4 2
,
11
4 2 ,
12
4 2
et on note A 2 la
réunion des quatre intervalles fermés restants. L’ensemble A 2 contient donc
tous les éléments de [0 , 1] dont le développement binaire admet un 0 en seconde et quatrième position après la virgule. En poursuivant le procédé, on
obtient à la n-ième étape l’ensemble A n formé de 2 n intervalles fermés, chacun
de longueur 4 −n . Il est évident que
A 1 ⊃ A 2 ⊃ · · · ⊃ A n ⊃ · · ·
et
A =
+∞
n=1
A n .
Puisque m(A n ) = 2 n × 4 −n = 2 −n , l’ensemble A est de mesure de Lebesgue
nulle.
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