Solutions
problème précédent
m(A 1 ) − m
+∞
n=1
A n
= m
A 1 \
+∞
n=1
A n
= m
+∞
n=1
(A 1 \ A n )
= lim
n→+∞
m(A 1 \ A n ) = m(A 1 ) − lim
n→+∞
m(A n ).
Pour montrer que l’hypothèse m(A k ) < +∞ pour au moins un k est essentielle,
on peut considérer A n = ]n , +∞[, n ∈ N ∗ .
II.1.20.
(a) Les ensembles B k =
+∞
n=k
A n vérifient B k ⊂ B k+1 . Donc, d’après II.1.18,
m
lim
n→+∞
A n
= m
+∞
k=1
B k
= lim
k→+∞
m(B k ) lim
k→+∞
m(A k ),
la dernière inégalité provenant, par exemple, de II.4.14(a) (vol. I).
(b) Ceci s’obtient en procédent comme en (a) et en utilisant II.1.19.
II.1.21.
(a) Si, par exemple, {A n } est une suite croissante d’ensembles, alors pour
tout k,
+∞
n=k
A n =
+∞
n=1
A n . Donc, lim
n→+∞
A n =
+∞
n=1
A n . De plus, puisque
+∞
n=k
A n = A k , on voit que lim
n→+∞
A n =
+∞
n=1
A n .
(b) Par monotonie de la mesure extérieure de Lebesgue, chacun des A n est
de mesure finie et les résultats de II.1.20(a) et (b) s’appliquent. Donc,
lim
n→+∞
m(A n ) m( lim
n→+∞
A n ) lim
n→+∞
m(A n ).
II.1.22. On a
m(A) = 1 − m
[0 , 1] \ A
= 1 −
α
2
+ 2
α
2 3 + 2
2 α
2 5 + · · ·
= 1 − α.
II.1.23. On divise [0 , 1] en dix intervalles de même longueur et on enlève
l’intervalle ]0,7 ; 0,8[. À la seconde étape, on divise chacun des neuf intervalles restants [0,1 ; 0,2], . . ., [0,6 ; 0,7], [0,8 ; 0,9], [0,9 ; 1] en dix intervalles de
même longueur et on enlève les intervalles ouverts ]0,07 ; 0,08[, . . ., ]0,67 ; 0,68[,
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