Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
contradiction. On remarquera que le théorème prouvé ici généralise les résultats de II.1.5 et II.1.6.
II.1.17. [M. Machover, Amer. Math. Monthly, 74(1967), 1080-1081]. Par définition de la mesure intérieure de Lebesgue (voir II.1.14), étant donné ε > 0, il
existe un ensemble mesurable C ⊂ A ∪ B tel que m ∗ (A ∪ B) − ε < m(C).
D’après le résultat du problème précédent, il existe des ensembles mesurables A 1 et B 1 tels que A ⊂ A 1 , B ⊂ B 1 et m(A 1 ∩ B 1 ) = 0. On obtient
donc, en utilisant II.1.14(d),
m ∗ (A) + m ∗ (B) − ε m ∗ (A ∪ B) − ε < m(C)
= m(C ∩ (A 1 ∪ B 1 ))
= m(C ∩ A 1 ) + m(C ∩ B 1 ).
Puisque C ∩ A 1 ⊂ (A ∪ B) ∩ A 1 = A ∪ (B ∩ A 1 ) ⊂ A ∪ (B 1 ∩ A 1 ), on a
m(C ∩ A 1 ) m ∗ (A ∪ (B 1 ∩ A 1 )). De même, m(C ∩ B 1 ) m ∗ (B ∪ (B 1 ∩ A 1 )).
Il s’ensuit alors que
m ∗ (A) + m ∗ (B) − ε m ∗ (A ∪ B) − ε
< m ∗ (A ∪ (B 1 ∩ A 1 )) + m ∗ (B ∪ (B 1 ∩ A 1 ))
= m ∗ (A) + m ∗ (B),
la dernière égalité se déduisant de II.1.14(f ).
II.1.18. On pose B 1 = A 1 et B n = A n \ A n−1 pour n 2. Les ensembles
B n sont alors mesurables et deux à deux disjoints et, pour tout N ∈ N ∗ , on a
N
n=1
A n =
N
n=1
B n et
+∞
n=1
A n =
+∞
n=1
B n . D’où,
m
+∞
n=1
A n
= m
+∞
n=1
B n
=
+∞
n=1
m(B n )
= lim
N →+∞
N
n=1
m(B n ) = lim
N →+∞
m(A N ).
II.1.19. On peut, sans perte de généralité, supposer que m(A 1 ) est finie. On
obtient, en utilisant la formule de De Morgan, les résultats de II.1.8 et du
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