Solutions
(e) La proposition (d) implique, par récurrence, que si les ensembles A n
(n = 1, 2, . . . , N) sont deux à deux disjoints, alors
m ∗
N
n=1
A n
N
n=1
m ∗ (A n ).
En conséquence,
m ∗
+∞
n=1
A n
m ∗
N
n=1
A n
N
n=1
m ∗ (A n )
et on obtient le résultat cherché en faisant tendre N vers +∞.
(f) Par définition de la mesure intérieure de Lebesgue, étant donné ε > 0, il
existe un ensemble mesurable B ⊂ A∪M tel que m ∗ (A∪M)−ε < m(B).
Donc,
m ∗ (A ∪ M) − ε < m(B) = m(B \ M) m ∗ (A)
car B \ M ⊂ A.
II.1.15. Il est évident que la condition est nécessaire. Pour montrer qu’elle
est aussi suffisante, il suffit d’appliquer le résultat du problème précédent.
II.1.16. [M. Machover, Amer. Math. Monthly, 74(1967), 1080-1081]. Supposons
d’abord qu’il existe des ensembles mesurables A 1 et B 1 tels que A ⊂ A 1 ,
B ⊂ B 1 et m(A 1 ∩ B 1 ) = 0. Par définition de la mesure extérieure de Lebesgue, étant donné ε > 0, il existe un ouvert G tel que A ∪ B ⊂ G et
m(G) < m
∗ (A ∪ B) + ε.
Puisque A ⊂ G ∩ A 1 et B ⊂ G ∩ B 1 , on a
m
∗ (A) + m
∗ (B) m(G ∩ A 1 ) + m(G ∩ B 1 ) = m(G ∩ (A 1 ∪ B 1 ))
m(G) < m
∗ (A ∪ B) + ε m
∗ (A) + m
∗ (B) + ε.
En faisant tendre ε vers 0, on voit que m ∗ (A ∪ B) = m ∗ (A) + m ∗ (B).
Supposons maintenant que m ∗ (A∪ B) = m ∗ (A)+m ∗ (B). D’après le résultat de II.1.11, il existe des G δ -ensembles A 1 et B 1 tels que A ⊂ A 1 , B ⊂ B 1 et
m(A 1 ) = m ∗ (A), m(B 1 ) = m ∗ (B). Nous allons prouver que m(A 1 ∩ B 1 ) = 0.
En effet, si m(A 1 ∩ B 1 ) > 0, on obtient en utilisant II.1.9
m
∗ (A ∪ B) = m
∗ (A) + m
∗ (B) = m(A 1 ) + m(B 1 )
= m(A 1 ∪ B 1 ) + m(A 1 ∩ B 1 )
> m(A 1 ∪ B 1 ) m
∗ (A ∪ B),
253
(e) La proposition (d) implique, par récurrence, que si les ensembles A n
(n = 1, 2, . . . , N) sont deux à deux disjoints, alors
m ∗
N
n=1
A n
N
n=1
m ∗ (A n ).
En conséquence,
m ∗
+∞
n=1
A n
m ∗
N
n=1
A n
N
n=1
m ∗ (A n )
et on obtient le résultat cherché en faisant tendre N vers +∞.
(f) Par définition de la mesure intérieure de Lebesgue, étant donné ε > 0, il
existe un ensemble mesurable B ⊂ A∪M tel que m ∗ (A∪M)−ε < m(B).
Donc,
m ∗ (A ∪ M) − ε < m(B) = m(B \ M) m ∗ (A)
car B \ M ⊂ A.
II.1.15. Il est évident que la condition est nécessaire. Pour montrer qu’elle
est aussi suffisante, il suffit d’appliquer le résultat du problème précédent.
II.1.16. [M. Machover, Amer. Math. Monthly, 74(1967), 1080-1081]. Supposons
d’abord qu’il existe des ensembles mesurables A 1 et B 1 tels que A ⊂ A 1 ,
B ⊂ B 1 et m(A 1 ∩ B 1 ) = 0. Par définition de la mesure extérieure de Lebesgue, étant donné ε > 0, il existe un ouvert G tel que A ∪ B ⊂ G et
m(G) < m
∗ (A ∪ B) + ε.
Puisque A ⊂ G ∩ A 1 et B ⊂ G ∩ B 1 , on a
m
∗ (A) + m
∗ (B) m(G ∩ A 1 ) + m(G ∩ B 1 ) = m(G ∩ (A 1 ∪ B 1 ))
m(G) < m
∗ (A ∪ B) + ε m
∗ (A) + m
∗ (B) + ε.
En faisant tendre ε vers 0, on voit que m ∗ (A ∪ B) = m ∗ (A) + m ∗ (B).
Supposons maintenant que m ∗ (A∪ B) = m ∗ (A)+m ∗ (B). D’après le résultat de II.1.11, il existe des G δ -ensembles A 1 et B 1 tels que A ⊂ A 1 , B ⊂ B 1 et
m(A 1 ) = m ∗ (A), m(B 1 ) = m ∗ (B). Nous allons prouver que m(A 1 ∩ B 1 ) = 0.
En effet, si m(A 1 ∩ B 1 ) > 0, on obtient en utilisant II.1.9
m
∗ (A ∪ B) = m
∗ (A) + m
∗ (B) = m(A 1 ) + m(B 1 )
= m(A 1 ∪ B 1 ) + m(A 1 ∩ B 1 )
> m(A 1 ∪ B 1 ) m
∗ (A ∪ B),
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