Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
Donc, si B ⊂ A et B est mesurable, alors m(B) m ∗ (A) + ε. Il s’ensuit
que m ∗ (A) m ∗ (A).
(b) D’après le résultat de II.1.11, il existe un ensemble mesurable A 2 tel
que I \ A ⊂ A 2 et m(A 2 ) = m ∗ (I \ A). Donc,
|I| = m(I \ A 2 ) + m(A 2 ) = m(I \ A 2 ) + m
∗ (I \ A).
Puisque I \ A 2 est un sous-ensemble mesurable de A, on obtient
|I| m ∗ (A) + m
∗ (I \ A).
On prouve maintenant que l’inégalité opposée est aussi vérifiée. Si B est
un sous-ensemble mesurable de A, alors I \ A ⊂ I \ B et, en conséquence,
m ∗ (I \ A) m ∗ (I \ B) = m(I) − m(B), la dernière égalité provenant
de II.1.8. En prenant la borne supérieure sur tous les ensembles mesurables B ⊂ A, on obtient |I| m ∗ (A) + m ∗ (I \ A).
(c) Par définition de la mesure intérieure de Lebesgue, pour n ∈ N ∗ , il existe
un ensemble mesurable B n ⊂ A tel que m ∗ (A) −
1
n < m(B n ). Puisque
+∞
n=1
B n ⊂ A, on a
m ∗ (A) −
1
n
< m(B n ) m
+∞
n=1
B n
m ∗ (A).
Il s’ensuit que
m
+∞
n=1
B n
= m ∗ (A) = m
∗ (A),
la dernière égalité étant notre hypothèse. La mesurabilité de A se déduit
alors de II.1.10.
(d) On a
m ∗ (A ∪ C) + m ∗ (A ∩ C)
sup {m(B ∪ D) : B, D ∈ M, B ⊂ A, D ⊂ C}
+ sup {m(B ∩ D) : B, D ∈ M, B ⊂ A, D ⊂ C}
sup {m(B ∪ D) + m(B ∩ D) : B, D ∈ M, B ⊂ A, D ⊂ C}
= sup {m(B) + m(D) : B, D ∈ M, B ⊂ A, D ⊂ C}
= sup {m(B) : B ∈ M, B ⊂ A} + sup {m(D) : D ∈ M, D ⊂ C}
= m ∗ (A) + m ∗ (C).
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