Solutions
II.1.4. Soit S 1 =
+∞
n=1
I n et S 2 =
+∞
n=1
I
n des recouvrements respectivement de
A et B par des intervalles fermés. On a alors A∪B ⊂ S 1 ∪S 2 et A∩B ⊂ S 1 ∩S 2 .
Donc, d’après le résultat du problème précédent,
m
∗ (A ∪ B) + m
∗ (A ∩ B) m(S 1 ∪ S 2 ) + m(S 1 ∩ S 2 ) = m(S 1 ) + m(S 2 ).
L’inégalité cherchée s’obtient en prenant la borne inférieure sur tous les recouvrements S 1 de A puis la borne inférieure sur tous les recouvrements S 2
de B.
II.1.5. Puisque G est mesurable, la condition de Carathéodory implique
m
∗ (A ∪ B) = m
∗ ((A ∪ B) ∩ G) + m
∗ ((A ∪ B) \ G) = m
∗ (A) + m
∗ (B).
On note que l’on peut remplacer G par tout ensemble mesurable.
II.1.6. Supposons que d(A, B) = η > 0. L’ensemble
G =
x∈A
x −
η
2
, x +
η
2
est alors un ouvert contenant A et disjoint de B. Le résultat cherché est donc
une conséquence immédiate du problème précédent.
II.1.7. On a
m
∗ (B) m
∗ (A ∪ B) m
∗ (A) + m
∗ (B) = m
∗ (B),
ce qui donne m ∗ (A ∪ B) = m ∗ (B). Puisque B = (B \ A) ∪ (A ∩ B) et
m ∗ (A ∩ B) = 0, il s’ensuit que m ∗ (B \ A) = m ∗ (B).
II.1.8. D’après la condition de Carathéodory, on a
m
∗ (B) = m
∗ (A ∩ B) + m
∗ (B \ A) = m(A) + m
∗ (B \ A).
II.1.9. Par additivité de la mesure de Lebesgue m,
m(A ∪ B) + m(A ∩ B) = (m(A \ B) + m(A ∩ B))
+ (m(B \ A) + m(A ∩ B))
= m(A) + m(B).
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