Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.1.10. D’après la condition de Carathéodory et l’hypothèse du problème,
m(A 1 ) = m
∗ (A) = m
∗ (A \ A 1 ) + m
∗ (A ∩ A 1 ) = m
∗ (A \ A 1 ) + m(A 1 ).
Puisque m(A 1 ) < ∞, on voit que m ∗ (A \ A 1 ) = 0. D’où, d’après II.1.1
et II.1.7, pour tout ensemble B,
m
∗ (B) = m
∗ (B \ A 1 ) + m
∗ (B ∩ A 1 ) = m
∗ (B \ A) + m
∗ (B ∩ A).
La dernière égalité découle du fait que les ensembles B \ A 1 et B \ A, de même
que les ensembles B ∩ A 1 et B ∩ A, ne diffèrent que par des ensembles de
mesure extérieure nulle.
II.1.11. Il suffit de considérer le cas m ∗ (A) < +∞. La définition de la mesure
extérieure implique que, étant donné ε > 0, il existe un recouvrement
+∞
k=1
I k
de A tel que
+∞
k=1
|I k | m ∗ (A) +
ε
2 . Si I
k est un intervalle ouvert, de même
centre que I k , tel que |I
k | = |I k | + 2 −k−1 ε, alors G =
+∞
k=1
I
k est un intervalle
ouvert contenant A tel que m(G)
+∞
k=1
|I
k | m ∗ (A) + ε. Pour démontrer la
seconde partie de l’énoncé, on considère, pour n ∈ N ∗ , un ensemble ouvert G n
contenant A tel que m(G n ) m ∗ (A) +
1
n et on pose A 2 =
+∞
n=1
G n .
II.1.12. On montre d’abord que (i) implique (ii). Si m(A) < +∞, l’implication se déduit alors de II.1.11 et II.1.8. Si m(A) = +∞, alors A =
+∞
n=1
A n
où A n = A ∩ [−n , n]. Puisque m(A n ) < +∞, il existe un ouvert G n tel
que A n ⊂ G n et m(G n \ A n ) <
ε
2 n . Si G =
+∞
n=1
G n , alors A ⊂ G et
G \ A ⊂
+∞
n=1
(G n \ A n ). En conséquence, m(G \ A)
+∞
n=1
ε
2 n = ε. Pour
voir que (iii) se déduit de (ii), il suffit de procéder comme dans la solution du
second énoncé de II.1.11. Si (iii) est vérifié, l’ensemble A = U \ (U \ A) est
alors mesurable comme différence de deux ensembles mesurables (voir II.1.1).
Les trois premières conditions sont donc équivalentes.
Pour voir que (i) implique (iv), on note que si A est mesurable, il en
est de même de A c . D’après (ii), il existe un ouvert G ⊃ A c tel que
250
II.1.10. D’après la condition de Carathéodory et l’hypothèse du problème,
m(A 1 ) = m
∗ (A) = m
∗ (A \ A 1 ) + m
∗ (A ∩ A 1 ) = m
∗ (A \ A 1 ) + m(A 1 ).
Puisque m(A 1 ) < ∞, on voit que m ∗ (A \ A 1 ) = 0. D’où, d’après II.1.1
et II.1.7, pour tout ensemble B,
m
∗ (B) = m
∗ (B \ A 1 ) + m
∗ (B ∩ A 1 ) = m
∗ (B \ A) + m
∗ (B ∩ A).
La dernière égalité découle du fait que les ensembles B \ A 1 et B \ A, de même
que les ensembles B ∩ A 1 et B ∩ A, ne diffèrent que par des ensembles de
mesure extérieure nulle.
II.1.11. Il suffit de considérer le cas m ∗ (A) < +∞. La définition de la mesure
extérieure implique que, étant donné ε > 0, il existe un recouvrement
+∞
k=1
I k
de A tel que
+∞
k=1
|I k | m ∗ (A) +
ε
2 . Si I
k est un intervalle ouvert, de même
centre que I k , tel que |I
k | = |I k | + 2 −k−1 ε, alors G =
+∞
k=1
I
k est un intervalle
ouvert contenant A tel que m(G)
+∞
k=1
|I
k | m ∗ (A) + ε. Pour démontrer la
seconde partie de l’énoncé, on considère, pour n ∈ N ∗ , un ensemble ouvert G n
contenant A tel que m(G n ) m ∗ (A) +
1
n et on pose A 2 =
+∞
n=1
G n .
II.1.12. On montre d’abord que (i) implique (ii). Si m(A) < +∞, l’implication se déduit alors de II.1.11 et II.1.8. Si m(A) = +∞, alors A =
+∞
n=1
A n
où A n = A ∩ [−n , n]. Puisque m(A n ) < +∞, il existe un ouvert G n tel
que A n ⊂ G n et m(G n \ A n ) <
ε
2 n . Si G =
+∞
n=1
G n , alors A ⊂ G et
G \ A ⊂
+∞
n=1
(G n \ A n ). En conséquence, m(G \ A)
+∞
n=1
ε
2 n = ε. Pour
voir que (iii) se déduit de (ii), il suffit de procéder comme dans la solution du
second énoncé de II.1.11. Si (iii) est vérifié, l’ensemble A = U \ (U \ A) est
alors mesurable comme différence de deux ensembles mesurables (voir II.1.1).
Les trois premières conditions sont donc équivalentes.
Pour voir que (i) implique (iv), on note que si A est mesurable, il en
est de même de A c . D’après (ii), il existe un ouvert G ⊃ A c tel que
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