Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.1.3. On déduit du résultat du problème précédent et de (2) dans la solution de I.7.3 que
m(S 1 ∪ S 2 ) + m(S 1 ∩ S 2 ) m(S 1 ) + m(S 2 ).
L’inégalité opposée est visiblement vérifiée lorsque m(S 1 ) ou m(S 2 ) est infinie.
Si les deux sont finies, on pose
S 1 =
+∞
n=1
J n et S 2 =
+∞
n=1
J
n ,
où {J n } et {J
n } sont deux suites d’intervalles fermés deux à deux disjoints, de
sorte que
m(S 1 ) =
+∞
n=1
|J n | et m(S 2 ) =
+∞
n=1
J
n
.
Puisque
S 1 ∪ S 2 =
N
n=1
J n ∪
N
n=1
J
n ∪
+∞
n=N +1
J n ∪
+∞
n=N +1
J
n
et
S 1 ∩ S 2 ⊂
N
n=1
J n ∩
N
n=1
J
n
∪
+∞
n=N +1
J n ∪
+∞
n=N +1
J
n ,
on obtient
m(S 1 ∪ S 2 )
N
n=1
J n ∪
N
n=1
J
n
+ m
+∞
n=N +1
J n
+ m
+∞
n=N +1
J
n
et
m(S 1 ∩ S 2 )
N
n=1
J n ∩
N
n=1
J
n
+ m
+∞
n=N +1
J n
+ m
+∞
n=N +1
J
n
.
En conséquence, d’après I.7.3 et la solution de II.1.2,
m(S 1 ∪ S 2 ) + m(S 1 ∩ S 2 )
N
n=1
J n
+
N
n=1
J
n
+ 2
m
+∞
n=N +1
J n
+ m
+∞
n=N +1
J
n
=
N
n=1
|J n | +
N
n=1
J
n
+ 2
+∞
n=N +1
|J n | +
+∞
n=N +1
J
n
.
Le dernier terme tendant vers zéro lorsque N tend vers +∞, on obtient donc
l’inégalité opposée.
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