Solutions
Solutions
II.1. Mesure de Lebesgue sur la droite réelle
II.1.1. Pour tout ensemble E ⊂ R, on a m ∗ (E ∩ A) m ∗ (A) = 0 et
m ∗ (E \ A) m ∗ (E). Donc, m ∗ (E) m ∗ (E ∩ A) + m ∗ (E \ A).
II.1.2. On sait que tout intervalle I est mesurable et que sa mesure de Lebesgue m(I) est égale à sa longueur, qui est aussi sa mesure de Jordan |I|.
L’ensemble S =
+∞
n=1
I n est donc mesurable. On sait aussi que S peut s’écrire
d’une infinité de façons sous la forme S =
+∞
n=1
J n , où les J n sont des intervalles fermés deux à deux disjoints. De plus, si
+∞
n=1
J n ⊂
+∞
n=1
I n , où les J n sont
deux à deux disjoints, alors
+∞
n=1
|J n |
+∞
n=1
|I n |. Pour prouver ceci, soit ε > 0
et I
n un intervalle ouvert de même centre que I n tel que |I
n | = |I n | + 2 −n ε.
Si S N =
N
k=1
J k , S N est alors recouvert par
+∞
n=1
I
n et, d’après le théorème de
Heine-Borel, il existe un sous-recouvrement fini
n N
k=1
I
k . Donc, pour tout entier
strictement positif N , d’après I.7.2,
|S N | =
N
k=1
|J k |
k N
k=1
I
k
+∞
k=1
I
k
=
+∞
k=1
|I k | + ε.
(On rappelle que |A| représente la mesure de Jordan de A ⊂ R.) Ceci montre
que m(S) =
+∞
k=1
|J k | et que m(S) ne dépend pas du choix des J k . Si E est
une union finie d’intervalles fermés disjoints et E ⊂ S, alors |E| m(S), ce
qui montre que |S| ∗ m(S). D’autre part, S N =
N
k=1
J k ⊂ S et {S N } est une
suite d’ensembles élémentaires telle que |S N | tend vers m(S) lorsque N tend
vers +∞, ce qui implique |S| ∗ m(S).
247