Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.5.58. Soit {b n } une suite décroissante convergente vers zéro. Démontrer que
+∞
n=1
b n sin nx est la série de Fourier d’une fonction bornée si et seulement si
nb n = O(1).
II.5.59. Soit {a n } une suite décroissante convergente vers zéro telle que
a n+1
a n + a n+2
2
pour tout n ∈ N ∗ . Prouver que
a 0
2
+
+∞
n=1
a n cos nx
est la série de Fourier d’une fonction positive et intégrable sur [−π, π]. En déduire
que la série
+∞
n=2
cos nx
ln n
est la série de Fourier d’une telle fonction. (Comparer avec le résultat de II.5.23).
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