Énoncés
II.5.52. Démontrer le théorème de Fatou suivant. Si f est une fonction intégrable sur [−π , π] et 2π-périodique telle que
lim
n→+∞
1
n
n
k=1
k
a 2
k + b 2
k = 0,
alors lim
n→+∞
s n (x) = f (x) p.p. De plus, si f est continue, alors lim
n→+∞
s n (x) = f (x)
uniformément sur R.
II.5.53. Démontrer le théorème de Wiener suivant. Une fonction 2π-périodique
à variation bornée sur [0 , 2π] est continue si et seulement si
lim
n→+∞
1
n
n
k=1
k
a 2
k + b 2
k = 0.
En conclure qu’une fonction 2π-périodique à variation bornée sur [0 , 2π] telle que
a n = o
n −1
est continue.
II.5.54. Montrer que si la série de Fourier de f ∈ L 1 [−π , π] est lacunaire,
autrement dit, si
f (x) ∼
+∞
k=1
(a n k cos n k x + b n k sin n k x)
où
n k+1
n k
q > 1 pour k ∈ N ∗ , alors lim
n→+∞
s n (x) = f (x) presque partout.
II.5.55. Soit f une fonction 2π-périodique sur R, f ∈ L p [−π , π], 1 p <
+∞. Prouver que la suite des moyennes de Cesàro de la série de Fourier de f
(voir II.5.40) converge pour la norme L p , autrement dit, que
lim
n→+∞
σ n − f p = lim
n→+∞
π
−π
|σ n (x) − f (x)|
p dx
1/p
= 0.
II.5.56. Soit {b n } une suite décroissante convergente vers zéro. Démontrer
que
+∞
n=1
b n sin nx est uniformément convergente sur [0 , 2π] si et seulement si
lim
n→+∞
nb n = 0.
II.5.57. Soit {b n } une suite décroissante convergente vers zéro. Prouver que
+∞
n=1
b n sin nx est la série de Fourier d’une fonction continue si et seulement si
lim
n→+∞
nb n = 0.
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