Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.5.45. Soit f une fonction paire sur [−π , π] telle que |f (x)| M pour tout
x ∈ [−π , π] et telle que ses coefficients de Fourier a n soient positifs. Prouver que
+∞
k=1
a k < +∞.
II.5.46. Utiliser le résultat de II.5.12 pour prouver que la fonction
f (x) =
+∞
n=1
n 3
n 4 + 1
sin nx
appartient à C ∞
]0,2π[ .
II.5.47. Démontrer le théorème de Fejér suivant. Soit f ∈ L 1 [−π , π] une fonction 2π-périodique sur R telle que les limites f (x − ) et f (x + ) existent. On a
lim
n→+∞
σ n (x) =
f (x − ) + f (x + )
2
.
II.5.48. Démontrer le théorème de Fejér-Lebesgue suivant. Soit f ∈ L 1 [−π , π]
une fonction 2π-périodique sur R et x un point de Lebesgue de f (voir II.4.22).
On a
lim
n→+∞
σ n (x) = f (x).
II.5.49. Soit f ∈ L 2 [−π , π] une fonction 2π-périodique sur R. Prouver que la
fonction
g(x) =
π
−π
f (x + t)f (t) dt
est continue sur R.
II.5.50. Soit f une fonction 2π-périodique et continue sur R. Prouver que la
suite des moyennes de Cesàro de la série de Fourier (voir II.5.40) de f converge
uniformément vers f sur R.
II.5.51. Prouver que la série de fourier d’une fonction 2π-périodique et continue
sur R ayant des coefficients de Fourier positifs converge uniformément sur R.
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